Encontre os pontos críticos e verifique se são pontos de máximo ou mínimo locais nas funções abaixo:
f(x, y) = 1 / (x^2 + y^2 - 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que precisamos fazer aqui é encontrar os pontos críticos da função e verificar se esses pontos são máximos ou mínimos locais. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Ou seja, precisamos calcular e e igualar a zero.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Da mesma forma, a derivada parcial em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar onde essas derivadas são iguais a zero:
Portanto, o único ponto crítico é .

Passo 5

Para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo local, usamos o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos calcular as derivadas segundas , e .

Passo 6

Calculando :
Simplificando em :
Calculando de forma similar:
Calculando :
Em :

Passo 7

Agora, calculamos o discriminante :
Como e , isso indica que temos um máximo local no ponto crítico.

Resposta

A função tem um ponto crítico em , que é um máximo local.

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