Encontre os pontos críticos e verifique se são pontos de máximo ou mínimo locais nas funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que precisamos fazer aqui é encontrar os pontos críticos da função
e verificar se esses pontos são máximos ou mínimos locais. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Ou seja, precisamos calcular
e
e igualar a zero.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Da mesma forma, a derivada parcial em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar onde essas derivadas são iguais a zero:
Portanto, o único ponto crítico é
.
Passo 5
Para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo local, usamos o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos calcular as derivadas segundas
,
e
.
Passo 6
Calculando
:
Simplificando em
:
Calculando
de forma similar:
Calculando
:
Em
:
Passo 7
Agora, calculamos o discriminante
:
Como
e
, isso indica que temos um máximo local no ponto crítico.
Resposta
A função
tem um ponto crítico em
, que é um máximo local.