A equação de diferenças de primeira ordem y[n] - alpha * y[n-1] = x[n], 0 < alpha < 1, descreve um sistema de tempo discreto inicialmente em repouso.
O sistema é:
Estável?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação de diferenças de primeira ordem: , onde . O sistema está inicialmente em repouso. O objetivo é determinar se esse sistema é estável. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de estabilidade em sistemas de tempo discreto e analisar a equação dada.

Passo 2

Estabilidade em sistemas de tempo discreto geralmente se refere à estabilidade BIBO (Bounded Input, Bounded Output), que significa que se a entrada do sistema for limitada, a saída também será limitada. Para verificar a estabilidade BIBO, uma abordagem comum é analisar a resposta ao impulso do sistema e verificar se ela é absolutamente somável.

Passo 3

Vamos começar encontrando a resposta ao impulso do sistema. Primeiro, consideramos a entrada como um impulso unitário, ou seja, . A equação fica:
Resolvendo essa equação de diferenças, obtemos a resposta ao impulso .

Passo 4

A solução para a equação de diferenças homogênea associada é:
Como o sistema está inicialmente em repouso, . Portanto, a resposta ao impulso é:
para .

Passo 5

Para que o sistema seja estável, a soma da resposta ao impulso deve ser finita:
Essa é uma série geométrica que converge se .

Passo 6

Dado que , temos . Portanto, a série geométrica converge e a resposta ao impulso é absolutamente somável.

Resposta

Sim, o sistema é estável.

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