A equação de diferenças de primeira ordem
, descreve um sistema de tempo discreto inicialmente em repouso.
O sistema é:
Estável?
O sistema é:
Estável?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação de diferenças de primeira ordem:
, onde
. O sistema está inicialmente em repouso. O objetivo é determinar se esse sistema é estável. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de estabilidade em sistemas de tempo discreto e analisar a equação dada.
Passo 2
Estabilidade em sistemas de tempo discreto geralmente se refere à estabilidade BIBO (Bounded Input, Bounded Output), que significa que se a entrada do sistema for limitada, a saída também será limitada. Para verificar a estabilidade BIBO, uma abordagem comum é analisar a resposta ao impulso do sistema e verificar se ela é absolutamente somável.
Passo 3
Vamos começar encontrando a resposta ao impulso do sistema. Primeiro, consideramos a entrada
como um impulso unitário, ou seja,
. A equação fica:
Resolvendo essa equação de diferenças, obtemos a resposta ao impulso
.
Passo 4
A solução para a equação de diferenças homogênea associada
é:
Como o sistema está inicialmente em repouso,
. Portanto, a resposta ao impulso é:
para
.
Passo 5
Para que o sistema seja estável, a soma da resposta ao impulso deve ser finita:
Essa é uma série geométrica que converge se
.
Passo 6
Dado que
, temos
. Portanto, a série geométrica converge e a resposta ao impulso é absolutamente somável.
Resposta
Sim, o sistema é estável.