Dada a função
: (b) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos dá a função
e pede para determinar onde ela está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos ajuda a entender como a função se comporta em termos de aumento ou diminuição.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a derivada da função
. A derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto. Se a derivada for positiva, a função está crescendo naquele ponto; se for negativa, está decrescendo. Então, vamos calcular:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a derivada é igual a zero ou não existe. Esses pontos podem ser onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa. Igualamos a derivada a zero:
Podemos fatorar:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 4
Com os pontos críticos
e
, vamos dividir a reta
em três intervalos e testar o sinal da derivada em cada um deles:
-
Intervalo
: Escolhemos, por exemplo, : Portanto, a função está decrescendo nesse intervalo. -
Intervalo
: Escolhemos, por exemplo, : A função também está decrescendo nesse intervalo. -
Intervalo
: Escolhemos, por exemplo, : Aqui, a função está crescendo.
Resposta
A função
está decrescendo nos intervalos
e crescendo no intervalo
.
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