Dada a função
: (a) Determine os seus pontos de inflexão, pontos críticos e classifique-os quanto a máximos : mínimos locais e globais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A função que a gente tem é
. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os pontos de inflexão e os pontos críticos dessa função. Depois, vamos classificar esses pontos para ver se são máximos ou mínimos locais e globais. Para isso, vamos usar derivadas, que são ferramentas que nos ajudam a entender como a função se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são aqueles onde a derivada primeira da função é zero ou não existe. Para isso, vamos calcular a primeira derivada de
.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar onde
:
Podemos fatorar:
Então, temos duas soluções:
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Agora, vamos determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos locais. Para isso, usamos a segunda derivada.
Calculamos a segunda derivada de
:
Passo 5
Vamos avaliar a segunda derivada nos pontos críticos:
Para
:
Quando a segunda derivada é zero, o teste é inconclusivo. Nesse caso, precisamos usar outros métodos, como analisar a derivada primeira ao redor de
.
Para
:
Como
, isso indica que
é um mínimo local.
Passo 6
Vamos analisar o ponto
mais a fundo. Observando a derivada primeira
:
-
Para
, digamos : -
Para
, digamos : -
Para
, digamos :
A derivada primeira n��o muda de sinal em
(continua negativa), o que significa que
não é um máximo ou mínimo local, mas sim um ponto de inflexão.
Passo 7
Agora, vamos encontrar os pontos de inflexão. Ponto de inflexão é onde a concavidade da função muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal.
Vamos resolver
:
Então,
ou
.
Vamos verificar a mudança de concavidade:
-
Para
, digamos : -
Para
, digamos : -
Para
, digamos :
Portanto, há mudanças de concavidade em
e
, o que significa que esses são pontos de inflexão.
Resposta
Os pontos críticos da função
são
e
. O ponto
é um mínimo local. Além disso, os pontos de inflexão estão em
e
.
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.
Dada a função
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e
em termos das medidas das áreas.