Dada a função : (a) Determine os seus pontos de inflexão, pontos críticos e classifique-os quanto a máximos : mínimos locais e globais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A função que a gente tem é . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os pontos de inflexão e os pontos críticos dessa função. Depois, vamos classificar esses pontos para ver se são máximos ou mínimos locais e globais. Para isso, vamos usar derivadas, que são ferramentas que nos ajudam a entender como a função se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são aqueles onde a derivada primeira da função é zero ou não existe. Para isso, vamos calcular a primeira derivada de .
A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar onde :
Podemos fatorar:
Então, temos duas soluções:
Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 4

Agora, vamos determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos locais. Para isso, usamos a segunda derivada.
Calculamos a segunda derivada de :

Passo 5

Vamos avaliar a segunda derivada nos pontos críticos:
Para :
Quando a segunda derivada é zero, o teste é inconclusivo. Nesse caso, precisamos usar outros métodos, como analisar a derivada primeira ao redor de .
Para :
Como , isso indica que é um mínimo local.

Passo 6

Vamos analisar o ponto mais a fundo. Observando a derivada primeira :
  • Para , digamos :
  • Para , digamos :
  • Para , digamos :
A derivada primeira n��o muda de sinal em (continua negativa), o que significa que não é um máximo ou mínimo local, mas sim um ponto de inflexão.

Passo 7

Agora, vamos encontrar os pontos de inflexão. Ponto de inflexão é onde a concavidade da função muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal.
Vamos resolver :
Então, ou .
Vamos verificar a mudança de concavidade:
  • Para , digamos :
  • Para , digamos :
  • Para , digamos :
Portanto, há mudanças de concavidade em e , o que significa que esses são pontos de inflexão.

Resposta

Os pontos críticos da função são e . O ponto é um mínimo local. Além disso, os pontos de inflexão estão em e .

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