Dada a função , calcule , etc. Demonstre que a derivada -ésima é dada por

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular as derivadas de ordem crescente da função e, depois, demonstrar que a derivada -ésima dessa função é dada por:
Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas sucessivas e usar algumas propriedades de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como derivar . A derivada de pode ser reescrita como . Usando a regra do potência, onde se , então , temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada . Partindo de , aplicamos novamente a regra do potência:

Passo 4

Seguindo essa lógica, a terceira derivada será:

Passo 5

Perceba o padrão que está surgindo nas derivadas:
  • A primeira derivada tem um coeficiente de
  • A segunda derivada tem
  • A terceira derivada tem
Isso parece estar relacionado ao fatorial e aos sinais alternados. Vamos generalizar isso para a -ésima derivada.

Passo 6

Assumindo que para cada derivada, o expoente de diminui em 1 e o coeficiente multiplica pelo próximo número inteiro positivo, podemos expressar a -ésima derivada como:
Onde:
  • lida com os sinais alternados
  • vem da multiplicação sucessiva dos coeficientes
  • reflete a redução do expoente a cada derivada

Resposta

A derivada -ésima da função é dada por:

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