Dada a função
, calcule
, etc. Demonstre que a derivada
-ésima é dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular as derivadas de ordem crescente da função
e, depois, demonstrar que a derivada
-ésima dessa função é dada por:
Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas sucessivas e usar algumas propriedades de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como derivar
. A derivada de
pode ser reescrita como
. Usando a regra do potência, onde se
, então
, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada
. Partindo de
, aplicamos novamente a regra do potência:
Passo 4
Seguindo essa lógica, a terceira derivada
será:
Passo 5
Perceba o padrão que está surgindo nas derivadas:
- A primeira derivada tem um coeficiente de
- A segunda derivada tem
- A terceira derivada tem
Isso parece estar relacionado ao fatorial e aos sinais alternados. Vamos generalizar isso para a
-ésima derivada.
Passo 6
Assumindo que para cada derivada, o expoente de
diminui em 1 e o coeficiente multiplica pelo próximo número inteiro positivo, podemos expressar a
-ésima derivada como:
Onde:
-
lida com os sinais alternados -
vem da multiplicação sucessiva dos coeficientes -
reflete a redução do expoente a cada derivada
Resposta
A derivada
-ésima da função
é dada por: