.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que me mandou:
. A matéria que vamos trabalhar aqui é Cálculo Diferencial, especificamente a derivação de funções compostas usando a Regra da Cadeia. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como derivar funções trigonométricas e aplicar a regra da cadeia corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a estrutura da função. Aqui, temos uma função composta: a função cosseno (
) está aplicada a
. Então, podemos pensar na função assim:
onde
Passo 3
Agora, vamos lembrar da Regra da Cadeia, que é usada para derivar funções compostas. A regra diz que se
e
, então a derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Vamos aplicar isso ao nosso caso. Primeiro, derivamos
em relação a
:
Porque a derivada de
é
.
Passo 5
Em seguida, derivamos
em relação a
:
Isso porque a derivada de
é
.
Passo 6
Agora, aplicamos a Regra da Cadeia multiplicando as duas derivadas que encontramos:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
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Dada a função
, calcule
, etc. Demonstre que a derivada
-ésima é dada por