Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função . O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo, especificamente derivadas. Vamos precisar entender como derivar funções compostas, como a tangente e a raiz quadrada. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que é uma função composta. Ou seja, temos uma função tangente aplicada a outra função: . Para encontrar a derivada de em relação a , usamos a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de em relação a é:
Aqui, é a derivada de em relação a , e é a derivada de em relação a .

Passo 4

Agora, vamos calcular , onde . Para isso, usamos a regra do quociente:
Sabemos que e .

Passo 5

Substituindo as derivadas encontradas:
Vamos simplificar isso:

Passo 6

Agora, voltando à derivada de :

Resposta

A derivada de em relação a é:

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Dada a função , calcule , etc. Demonstre que a derivada -ésima é dada por
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