Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
. O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo, especificamente derivadas. Vamos precisar entender como derivar funções compostas, como a tangente e a raiz quadrada. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que
é uma função composta. Ou seja, temos uma função tangente aplicada a outra função:
. Para encontrar a derivada de
em relação a
, usamos a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia, a derivada de
em relação a
é:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
, e
é a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Agora, vamos calcular
, onde
. Para isso, usamos a regra do quociente:
Sabemos que
e
.
Passo 5
Substituindo as derivadas encontradas:
Vamos simplificar isso:
Passo 6
Agora, voltando à derivada de
:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Dada a função
, calcule
, etc. Demonstre que a derivada
-ésima é dada por