Dada a função
, calcule
, etc. Demonstre que a derivada
-ésima é dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão quer é que a gente encontre as derivadas primeira, segunda, terceira e assim por diante da função
. Depois, a gente precisa mostrar que, em geral, a
-ésima derivada dessa função é dada por:
Para resolver isso, vamos usar as regras de derivação, principalmente a regra do poder, que é super útil quando a gente tem
elevado a alguma potência.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de um jeito que seja mais fácil de derivar usando a regra do poder. Sabemos que:
Agora, para encontrar a primeira derivada
, aplicamos a regra do poder, que diz que se
, então
. Aplicando isso:
Passo 3
Vamos continuar e encontrar a segunda derivada
. Pegamos a derivada de
:
Aqui, novamente usamos a regra do poder. Notou como o expoente diminui e o coeficiente é multiplicado pelo antigo expoente?
Passo 4
Agora, vamos para a terceira derivada
:
Viu o padrão? O coeficiente está ficando mais complicado, mas a forma da derivada continua seguindo a mesma lógica.
Passo 5
Percebendo o padrão nas derivadas, podemos generalizar para a
-ésima derivada. Observamos que:
- A cada derivada, o expoente de
diminui em 1. - O coeficiente envolve um fator que é o negativo do expoente anterior multiplicado pelo coeficiente anterior.
Assim, seguindo esse padrão, a
-ésima derivada será:
Onde
(fatorial de
) vem do fato de multiplicarmos todos os inteiros de 1 até
nos coeficientes a cada derivada.
Resposta
A derivada
-ésima da função
é dada por: