Dada a função , calcule , etc. Demonstre que a derivada -ésima é dada por

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão quer é que a gente encontre as derivadas primeira, segunda, terceira e assim por diante da função . Depois, a gente precisa mostrar que, em geral, a -ésima derivada dessa função é dada por:
Para resolver isso, vamos usar as regras de derivação, principalmente a regra do poder, que é super útil quando a gente tem elevado a alguma potência.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de um jeito que seja mais fácil de derivar usando a regra do poder. Sabemos que:
Agora, para encontrar a primeira derivada , aplicamos a regra do poder, que diz que se , então . Aplicando isso:

Passo 3

Vamos continuar e encontrar a segunda derivada . Pegamos a derivada de :
Aqui, novamente usamos a regra do poder. Notou como o expoente diminui e o coeficiente é multiplicado pelo antigo expoente?

Passo 4

Agora, vamos para a terceira derivada :
Viu o padrão? O coeficiente está ficando mais complicado, mas a forma da derivada continua seguindo a mesma lógica.

Passo 5

Percebendo o padrão nas derivadas, podemos generalizar para a -ésima derivada. Observamos que:
  • A cada derivada, o expoente de diminui em 1.
  • O coeficiente envolve um fator que é o negativo do expoente anterior multiplicado pelo coeficiente anterior.
Assim, seguindo esse padrão, a -ésima derivada será:
Onde (fatorial de ) vem do fato de multiplicarmos todos os inteiros de 1 até nos coeficientes a cada derivada.

Resposta

A derivada -ésima da função é dada por:

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