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Passo 1

Temos a função . O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de derivadas, especificamente a regra da cadeia. Para resolver, vamos precisar aplicar essa regra para encontrar a derivada de em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos derivar. A função seno está aplicada a . Na regra da cadeia, tratamos a função externa (nesse caso, a seno) e a função interna ( ) separadamente.

Passo 3

Vamos começar derivando a função externa. A derivada de em relação a é . Então, a derivada da parte externa será .

Passo 4

Agora, precisamos derivar a função interna em relação a . Para isso, usamos a regra do quociente:
Aqui, e . Calculando as derivadas:
Aplicando na fórmula:

Passo 5

Finalmente, aplicamos a regra da cadeia multiplicando a derivada da função externa pela derivada da função interna:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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Dada a função , calcule , etc. Demonstre que a derivada -ésima é dada por
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