Dada a função
, calcule
, etc. Demonstre que a derivada
-ésima é dada por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa calcular suas derivadas de ordem
(primeira, segunda, terceira, etc.). Para isso, vamos usar o conceito de derivada e a regra de potência. A ideia é achar uma fórmula geral que nos dê a
-ésima derivada de
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de
. Lembre-se que a derivada de
é
. No nosso caso,
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada.
Passo 4
Vamos para a terceira derivada.
Passo 5
Observando o padrão nas derivadas que calculamos:
Percebe-se que a
-ésima derivada envolve o fatorial de
, um sinal alternado
e a potência de
aumentando em
.
Resposta
Portanto, a derivada
-ésima de
é dada por