Dada a função f(x)=1/x, calcule f'(x), f''(x), f'''(x), etc. Demonstre que a derivada n-ésima é dada por
f^(n)(x)=((-1)^(n) n!)/(x^(n+1))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa calcular suas derivadas de ordem (primeira, segunda, terceira, etc.). Para isso, vamos usar o conceito de derivada e a regra de potência. A ideia é achar uma fórmula geral que nos dê a -ésima derivada de .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de . Lembre-se que a derivada de é . No nosso caso, .

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada.

Passo 4

Vamos para a terceira derivada.

Passo 5

Observando o padrão nas derivadas que calculamos:
Percebe-se que a -ésima derivada envolve o fatorial de , um sinal alternado e a potência de aumentando em .

Resposta

Portanto, a derivada -ésima de é dada por

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f(x) = (x^2 + 1/x^2)^4
f(x) = 1 / raiz(x^2 + 1).