f(x) = 1 / raiz(x^2 + 1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função . O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de derivadas. Para resolver isso, precisamos saber como derivar funções que envolvem raízes e potências.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de um jeito que seja mais fácil de derivar. A raiz quadrada é a mesma coisa que elevar a potência 1/2. Então, nossa função fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da derivada para funções compostas, que é a Regra da Cadeia. A Regra da Cadeia diz que se temos uma função composta , a derivada é .

Passo 4

Identificando as partes da nossa função:
  • Função externa:
  • Função interna:

Passo 5

Vamos derivar a função externa em relação a :

Passo 6

Agora, derivamos a função interna em relação a :

Passo 7

Aplicando a Regra da Cadeia, multiplicamos por :

Passo 8

Simplificando a expressão:

Passo 9

Podemos reescrever a resposta de uma forma mais bonita, usando a raiz quadrada novamente:

Resposta

A derivada da função é .

Exercícios relacionados

f(x) = (x^2 + 1/x^2)^4
Dada a função f(x)=1/x, calcule f'(x), f''(x), f'''(x), etc. Demonstre que a derivada n-ésima é dada por
f^(n)(x)=((-1)^(n) n!)/(x^(n+1))
y = tan(sen(1 - 3 x^2))
y = x * sen(1/x).