Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função
. A matéria que vamos usar aqui é a expansão binomial, que nos ajuda a expandir expressões do tipo
. Para resolver isso, vamos precisar aplicar o Teorema do Binômio de Newton, que nos fornece uma maneira sistemática de expandir potências de binômios.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes do nosso binômio:
O Teorema do Binômio de Newton diz que:
Aqui,
é o coeficiente binomial, que calcula as combinações possíveis de escolher
elementos entre
.
Passo 3
Vamos aplicar o teorema à nossa função:
Agora, vamos calcular cada termo da soma para
até
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, juntando todos os termos que calculamos:
Resposta
Então, a expansão de
é:
Exercícios relacionados
Dada a função
, calcule
, etc. Demonstre que a derivada
-ésima é dada por