Dada a função
, calcule
, etc. Demonstre que a derivada
-ésima é dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular as derivadas de primeira, segunda, terceira, e assim por diante, da função
. Além disso, temos que mostrar que a derivada
-ésima é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas sucessivas e aplicar a regra da potência. Vamos começar derivando a função passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. Lembre-se que
pode ser reescrito como
. A regra da potência diz que, para
, a derivada é
.
Aplicando isso:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda derivada. Tomamos a derivada de
:
Passo 4
Seguimos para a terceira derivada, derivando
:
Passo 5
Perceba um padrão nas derivadas que calculamos:
Observamos que o numerador está seguindo a sequência dos fatoriais multiplicados por
e o denominador é
elevado a
.
Passo 6
Vamos generalizar isso para a
-ésima derivada. Pelo padrão observado, a
-ésima derivada de
é:
Onde:
-
alterna o sinal da derivada. -
é o fatorial de . -
é o denominador com expoente aumentando a cada derivada.
Resposta
A
-ésima derivada da função
é dada por: