Dada a função f(x)=1/x, calcule f'(x), f''(x), f'''(x), etc. Demonstre que a derivada n-ésima é dada por
f^(n)(x)=((-1)^(n) n!)/(x^(n+1))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular as derivadas de primeira, segunda, terceira, e assim por diante, da função . Além disso, temos que mostrar que a derivada -ésima é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas sucessivas e aplicar a regra da potência. Vamos começar derivando a função passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . Lembre-se que pode ser reescrito como . A regra da potência diz que, para , a derivada é .
Aplicando isso:

Passo 3

Agora, vamos para a segunda derivada. Tomamos a derivada de :

Passo 4

Seguimos para a terceira derivada, derivando :

Passo 5

Perceba um padrão nas derivadas que calculamos:
Observamos que o numerador está seguindo a sequência dos fatoriais multiplicados por e o denominador é elevado a .

Passo 6

Vamos generalizar isso para a -ésima derivada. Pelo padrão observado, a -ésima derivada de é:
Onde:
  • alterna o sinal da derivada.
  • é o fatorial de .
  • é o denominador com expoente aumentando a cada derivada.

Resposta

A -ésima derivada da função é dada por:

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f(t) = ((t^2 - 1) / (t^2 + 1))^(3/2).