Sabendo que lim x infty(1+1x)^x=e, Calcule L=lim x infty(1+4x)^x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa resolver. A gente tem o limite e quer descobrir qual é o valor desse limite. A gente já sabe que , onde é um número especial na matemática, aproximadamente 2,71828. Vamos usar essa informação para achar o valor do limite que a gente precisa.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar deixar o limite que a gente quer do jeitinho que a gente conhece o limite que dá (1+4x)^x . Olha só:
(1+4x)^x = (1+1y)^4y
A gente pode reescrever isso de uma forma que fique parecido com . Para isso, vamos fazer uma substituição: seja . Assim, quando tende ao infinito, também tende ao infinito.
Agora, substituindo na expressão original, temos:
Porque , então .

Passo 3

Agora, vamos separar a potência para facilitar:
(1+1y)^4y = [(1+1y)^y]^4
Aí, olhando para limy to infty (1+1y)^y = e , a gente lembra que quando limy to infty [(1+1y)^y]^4 = e^4 tende ao infinito, isso se aproxima de :
Então, substituindo de volta na nossa expressão:

Resposta

O limite é igual a .

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