Dada a função
, verificar se existe
(0). Esboçar o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função definida por partes:
O que a gente precisa fazer aqui é verificar se a derivada de
existe no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e ver se as derivadas laterais (pela direita e pela esquerda) nesse ponto são iguais. Além disso, vamos esboçar o gráfico dessa função para visualizar melhor.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas de cada parte da função. Para
, a função é
. A derivada disso é simplesmente:
Para
, a função é
. A derivada dessa parte é:
Passo 3
Agora, vamos verificar as derivadas laterais no ponto
.
Derivada pela direita (
):
A derivada quando nos aproximamos de 0 pela direita é .
A derivada quando nos aproximamos de 0 pela direita é
Derivada pela esquerda (
):
A derivada quando nos aproximamos de 0 pela esquerda é .
A derivada quando nos aproximamos de 0 pela esquerda é
Passo 4
Como as derivadas pelas duas direções são iguais (
no caso), isso indica que a derivada de
existe no ponto
e é igual a 1.
Além disso, para esboçar o gráfico:
- Para
, temos uma reta com inclinação 1 e intercepto em . - Para
, temos uma reta com inclinação 1 que passa pela origem.
Resposta
A derivada de
existe no ponto
e é igual a
. O gráfico da função é uma reta contínua com inclinação 1, mudando o intercepto em
.
Exercícios relacionados
Dadas as funções
e
, determinar:
Dadas as funções
e
, determinar:
.
Usando a notação de intervalos, expresse os conjuntos:
Resolva as equações: