Dada a função , verificar se existe (0). Esboçar o gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função definida por partes:
O que a gente precisa fazer aqui é verificar se a derivada de existe no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e ver se as derivadas laterais (pela direita e pela esquerda) nesse ponto são iguais. Além disso, vamos esboçar o gráfico dessa função para visualizar melhor.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas de cada parte da função. Para , a função é . A derivada disso é simplesmente:
Para , a função é . A derivada dessa parte é:

Passo 3

Agora, vamos verificar as derivadas laterais no ponto .
Derivada pela direita ( ):
A derivada quando nos aproximamos de 0 pela direita é .
Derivada pela esquerda ( ):
A derivada quando nos aproximamos de 0 pela esquerda é .

Passo 4

Como as derivadas pelas duas direções são iguais ( no caso), isso indica que a derivada de existe no ponto e é igual a 1.
Além disso, para esboçar o gráfico:
  • Para , temos uma reta com inclinação 1 e intercepto em .
  • Para , temos uma reta com inclinação 1 que passa pela origem.

Resposta

A derivada de existe no ponto e é igual a . O gráfico da função é uma reta contínua com inclinação 1, mudando o intercepto em .

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Dadas as funções e , determinar:
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.
Usando a notação de intervalos, expresse os conjuntos:
Resolva as equações: