Dada a função
: (d) Faça um esboço do seu gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisamos fazer um esboço do gráfico dela. Isso envolve entender como a função se comporta, onde ela cruza os eixos, seus pontos máximos e mínimos, e como ela se comporta quando
vai para mais ou menos infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de polinômios e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde a função cruza os eixos. Para isso, vamos achar as raízes de
(onde
) e o ponto onde a função cruza o eixo
.
Para encontrar as raízes:
Fatorando:
Então, as raízes são
(com multiplicidade 3) e
.
Para o eixo
, basta calcular
:
Então, o ponto
é onde a função cruza o eixo
.
Passo 3
Agora, vamos descobrir os pontos onde a função tem máximos ou mínimos, ou seja, onde a derivada primeira é zero. Primeiro, vamos calcular a derivada de
:
Vamos igualar a zero para encontrar os pontos críticos:
Fatorando:
Então,
e
.
Vamos verificar se esses pontos são máximos ou mínimos usando a derivada segunda:
Para
:
Indefinido, então pode ser um ponto de inflexão.
Para
:
Como a segunda derivada é positiva,
é um ponto de mínimo.
Passo 4
Vamos também verificar o comportamento da função quando
vai para mais e menos infinito.
-
Quando
:
Como o termo de maior grau ée positivo, . -
Quando
:
Novamente,domina e, sendo par, .
Isso nos diz que a função tem “bracos” para cima em ambas as extremidades.
Passo 5
Agora, vamos juntar todas as informações:
- Raízes em
e . - Ponto de mínimo em
. - Comportamento positivo para
. - Ponto de interseção com o eixo
em .
Com isso, conseguimos esboçar o gráfico da função, mostrando suas curvas, pontos de mínimo e onde cruza os eixos.
Resposta
O esboço do gráfico da função
apresenta raízes em
e
, um ponto de mínimo em
, e ambos os “bracos” da função se dirigem para
quando
vai para
. O ponto de interseção com o eixo
está em
. Com esses elementos, o gráfico tem uma forma de “W” esticada para cima.
Exercícios relacionados
Encontre
e
.
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os para
tais que
a) e
e) e
b) e
.
f) e
.
c) e
g) .
d) e
h) e
.
a)
e)
b)
f)
c)
g)
d)
h)
Considere a seguinte função:
. Ache as funções que determinam a sua composta.
Calcule
(1)
(1)