Dada a função f(x) = x^4 - 2 x^3 : (d) Faça um esboço do seu gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisamos fazer um esboço do gráfico dela. Isso envolve entender como a função se comporta, onde ela cruza os eixos, seus pontos máximos e mínimos, e como ela se comporta quando vai para mais ou menos infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de polinômios e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde a função cruza os eixos. Para isso, vamos achar as raízes de (onde ) e o ponto onde a função cruza o eixo .
Para encontrar as raízes:
Fatorando:
Então, as raízes são (com multiplicidade 3) e .
Para o eixo , basta calcular :
Então, o ponto é onde a função cruza o eixo .

Passo 3

Agora, vamos descobrir os pontos onde a função tem máximos ou mínimos, ou seja, onde a derivada primeira é zero. Primeiro, vamos calcular a derivada de :
Vamos igualar a zero para encontrar os pontos críticos:
Fatorando:
Então, e .
Vamos verificar se esses pontos são máximos ou mínimos usando a derivada segunda:
Para :
Indefinido, então pode ser um ponto de inflexão.
Para :
Como a segunda derivada é positiva, é um ponto de mínimo.

Passo 4

Vamos também verificar o comportamento da função quando vai para mais e menos infinito.
  • Quando :
    Como o termo de maior grau é e positivo, .
  • Quando :
    Novamente, domina e, sendo par, .
Isso nos diz que a função tem “bracos” para cima em ambas as extremidades.

Passo 5

Agora, vamos juntar todas as informações:
  • Raízes em e .
  • Ponto de mínimo em .
  • Comportamento positivo para .
  • Ponto de interseção com o eixo em .
Com isso, conseguimos esboçar o gráfico da função, mostrando suas curvas, pontos de mínimo e onde cruza os eixos.

Resposta

O esboço do gráfico da função apresenta raízes em e , um ponto de mínimo em , e ambos os “bracos” da função se dirigem para quando vai para . O ponto de interseção com o eixo está em . Com esses elementos, o gráfico tem uma forma de “W” esticada para cima.

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