Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , do conjunto de todos os para tais que
a) e
e) e
b) e .
f) e .
c) e
g) .
d) e
h) e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o primeiro item! Precisamos encontrar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , da região onde e . Vamos usar o método das arruelas para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método das arruelas. Quando giramos uma região em torno do eixo , cada pequeno pedaço da região vira uma “arruela” com um certo raio interno e externo. O volume total é a soma desses volumes infinitesimais.

Passo 3

A fórmula para o volume usando arruelas é:
onde é o raio externo e é o raio interno.

Passo 4

No nosso caso, a região está definida em termos de e , então precisamos expressar em função de . Dado que , podemos reescrever como .

Passo 5

Os limites de integração para vão de (quando ) até (quando ).

Passo 6

Aqui, não há raio interno ( ) porque a região está sendo rotacionada em torno do eixo sem nenhum buraco.

Passo 7

Substituindo na fórmula:

Passo 8

Integrando:

Passo 9

Agora, vamos para o segundo item! Precisamos determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , da região onde e . Novamente, usaremos o método das arruelas.

Passo 10

Primeiramente, identificamos que pode ser reescrito como . Isso nos ajuda a expressar em função de .

Passo 11

Os limites de vão de até .

Passo 12

Como não há raio interno ( ), a fórmula do volume fica:

Passo 13

Sabemos que . Assim, a integral se torna:

Passo 14

Integrando:

Passo 15

Vamos resolver o terceiro item! Precisamos achar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , da região onde e . Usaremos o método das arruelas.

Passo 16

Primeiro, expressamos em função de : se , então .

Passo 17

Os limites de vão de até .

Passo 18

Não há raio interno, então . A fórmula do volume é:

Passo 19

Integrando:

Passo 20

Agora, vamos para o quarto item! Precisamos determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , da região onde e .

Passo 21

Primeiro, observamos que a região está entre e , e entre e . Reescrevendo como .

Passo 22

Os limites de vão de (quando ) até (quando ).

Passo 23

Aqui, temos um raio externo e um interno. O raio externo é e o interno é .

Passo 24

Aplicando a fórmula das arruelas:

Passo 25

Integrando:

Passo 26

Vamos resolver o quinto item! Precisamos encontrar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , da região onde e .

Passo 27

Primeiro, expressamos em função de : se , então .

Passo 28

Os limites de vão de (quando ) até .

Passo 29

Não há raio interno, então . A fórmula do volume é:

Passo 30

Integrando:

Passo 31

Agora, vamos para o sexto item! Precisamos determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , da região definida por e .

Passo 32

Primeiro, vamos reescrever a inequação . Rearranjando:
Isso representa um círculo de raio 1, centrado em , e consideramos apenas a parte onde (a semicircunferência superior).

Passo 33

Para calcular o volume da rotação desse semi-círculo em torno do eixo , usaremos o método das cascas cilíndricas.

Passo 34

A fórmula do método das cascas é:
onde é a altura da casca em .

Passo 35

No nosso caso, , e os limites de vão de a (diâmetro do círculo).

Passo 36

Substituindo na fórmula:
Fazendo a substituição , , quando , ; quando , .

Passo 37

A integral se torna:
Essa integral pode ser separada em duas:
A primeira integral é zero por simetria, e a segunda é a área de um semicírculo.

Passo 38

Calculando:

Passo 39

Vamos para o sétimo item! Precisamos determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , da região onde e .

Passo 40

Aqui, a função é , definida no intervalo .

Passo 41

Usaremos o método das arruelas. A fórmula é:
onde .

Passo 42

Aplicando os limites de de a :

Passo 43

Sabemos que . Substituindo:

Passo 44

Integrando:

Passo 45

Finalmente, vamos para o oitavo item! Precisamos determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , da região onde , e .

Passo 46

Primeiro, identificamos as funções que delimitam a região:
  • Inferior: (válido para )
  • Superior:
  • Limites de : de até (já que pela raiz quadrada)

Passo 47

Usaremos o método das arruelas. A fórmula é:
onde e .

Passo 48

Aplicando os limites de de a :

Passo 49

Simplificando a integral:

Passo 50

Integrando termo a termo:

Resposta

O volume do sólido é .

Exercícios relacionados

Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , do conjunto de todos os para tais que
i) e .
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região limitada pela parábola e pela reta .
Encontre e .
Dada a função : (d) Faça um esboço do seu gráfico.