Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os para
tais que
a)
e
e)
e
b)
e
.
f)
e
.
c)
e
g)
.
d)
e
h)
e
.
a)
e)
b)
f)
c)
g)
d)
h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o primeiro item! Precisamos encontrar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região onde
e
. Vamos usar o método das arruelas para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método das arruelas. Quando giramos uma região em torno do eixo
, cada pequeno pedaço da região vira uma “arruela” com um certo raio interno e externo. O volume total é a soma desses volumes infinitesimais.
Passo 3
A fórmula para o volume usando arruelas é:
onde
é o raio externo e
é o raio interno.
Passo 4
No nosso caso, a região está definida em termos de
e
, então precisamos expressar
em função de
. Dado que
, podemos reescrever como
.
Passo 5
Os limites de integração para
vão de
(quando
) até
(quando
).
Passo 6
Aqui, não há raio interno (
) porque a região está sendo rotacionada em torno do eixo
sem nenhum buraco.
Passo 7
Substituindo na fórmula:
Passo 8
Integrando:
Passo 9
Agora, vamos para o segundo item! Precisamos determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região onde
e
. Novamente, usaremos o método das arruelas.
Passo 10
Primeiramente, identificamos que
pode ser reescrito como
. Isso nos ajuda a expressar
em função de
.
Passo 11
Os limites de
vão de
até
.
Passo 12
Como não há raio interno (
), a fórmula do volume fica:
Passo 13
Sabemos que
. Assim, a integral se torna:
Passo 14
Integrando:
Passo 15
Vamos resolver o terceiro item! Precisamos achar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região onde
e
. Usaremos o método das arruelas.
Passo 16
Primeiro, expressamos
em função de
: se
, então
.
Passo 17
Os limites de
vão de
até
.
Passo 18
Não há raio interno, então
. A fórmula do volume é:
Passo 19
Integrando:
Passo 20
Agora, vamos para o quarto item! Precisamos determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região onde
e
.
Passo 21
Primeiro, observamos que a região está entre
e
, e entre
e
. Reescrevendo
como
.
Passo 22
Os limites de
vão de
(quando
) até
(quando
).
Passo 23
Aqui, temos um raio externo e um interno. O raio externo é
e o interno é
.
Passo 24
Aplicando a fórmula das arruelas:
Passo 25
Integrando:
Passo 26
Vamos resolver o quinto item! Precisamos encontrar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região onde
e
.
Passo 27
Primeiro, expressamos
em função de
: se
, então
.
Passo 28
Os limites de
vão de
(quando
) até
.
Passo 29
Não há raio interno, então
. A fórmula do volume é:
Passo 30
Integrando:
Passo 31
Agora, vamos para o sexto item! Precisamos determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região definida por
e
.
Passo 32
Primeiro, vamos reescrever a inequação
. Rearranjando:
Isso representa um círculo de raio 1, centrado em
, e consideramos apenas a parte onde
(a semicircunferência superior).
Passo 33
Para calcular o volume da rotação desse semi-círculo em torno do eixo
, usaremos o método das cascas cilíndricas.
Passo 34
A fórmula do método das cascas é:
onde
é a altura da casca em
.
Passo 35
No nosso caso,
, e os limites de
vão de
a
(diâmetro do círculo).
Passo 36
Substituindo na fórmula:
Fazendo a substituição
,
, quando
,
; quando
,
.
Passo 37
A integral se torna:
Essa integral pode ser separada em duas:
A primeira integral é zero por simetria, e a segunda é a área de um semicírculo.
Passo 38
Calculando:
Passo 39
Vamos para o sétimo item! Precisamos determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região onde
e
.
Passo 40
Aqui, a função é
, definida no intervalo
.
Passo 41
Usaremos o método das arruelas. A fórmula é:
onde
.
Passo 42
Aplicando os limites de
de
a
:
Passo 43
Sabemos que
. Substituindo:
Passo 44
Integrando:
Passo 45
Finalmente, vamos para o oitavo item! Precisamos determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região onde
,
e
.
Passo 46
Primeiro, identificamos as funções que delimitam a região:
- Inferior:
(válido para ) - Superior:
- Limites de
: de até (já que pela raiz quadrada)
Passo 47
Usaremos o método das arruelas. A fórmula é:
onde
e
.
Passo 48
Aplicando os limites de
de
a
:
Passo 49
Simplificando a integral:
Passo 50
Integrando termo a termo:
Resposta
O volume do sólido é
.
Exercícios relacionados
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os para
tais que
i) e
.
i)
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região limitada pela parábola
e pela reta
.
Encontre
e
.
Dada a função
: (d) Faça um esboço do seu gráfico.