Encontre
e
.
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conteúdo Necessário
A gente tem a função
e precisa encontrar a primeira derivada
e a segunda derivada
. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas regras de derivação:
- Regra do Produto: usada quando você tem uma função que é o produto de duas outras funções.
- Derivada da Função Logarítmica: especificamente, a derivada de
onde é uma função de .
Passo 2
Encontrando a Primeira Derivada
Primeiro, vamos identificar as duas partes da função que vão ser multiplicadas:
A Regra do Produto diz que se
, então:
Vamos calcular
e
:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Aqui usamos a Regra da Cadeia, que nos diz que a derivada de
é
.
Então,
Agora, aplicando a Regra do Produto:
Simplificando:
Passo 3
Encontrando a Segunda Derivada
Agora, vamos derivar
para encontrar
.
Vamos derivar cada termo separadamente:
- Derivada de
:
Aqui novamente usamos a Regra do Produto. Identificamos:
Calculando
e
:
-
- Já sabemos que
(do Passo 2)
Aplicando a Regra do Produto:
Simplificando:
- Derivada de
:
Somando as derivadas dos termos:
Resposta
A primeira e a segunda derivada da função
são: