Encontre y' e y''.
y = x^2 ln(2 x)

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo Necessário
A gente tem a função e precisa encontrar a primeira derivada e a segunda derivada . Para resolver isso, vamos precisar usar algumas regras de derivação:
  • Regra do Produto: usada quando você tem uma função que é o produto de duas outras funções.
  • Derivada da Função Logarítmica: especificamente, a derivada de onde é uma função de .

Passo 2

Encontrando a Primeira Derivada
Primeiro, vamos identificar as duas partes da função que vão ser multiplicadas:
A Regra do Produto diz que se , então:
Vamos calcular e :
  1. Derivada de :
  1. Derivada de :
Aqui usamos a Regra da Cadeia, que nos diz que a derivada de é .
Então,
Agora, aplicando a Regra do Produto:
Simplificando:

Passo 3

Encontrando a Segunda Derivada
Agora, vamos derivar para encontrar .
Vamos derivar cada termo separadamente:
  1. Derivada de :
Aqui novamente usamos a Regra do Produto. Identificamos:
Calculando e :
  • Já sabemos que (do Passo 2)
Aplicando a Regra do Produto:
Simplificando:
  1. Derivada de :
Somando as derivadas dos termos:

Resposta

A primeira e a segunda derivada da função são:

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