Dada a função f(x), determine as assíntotas verticais, horizontais ou inclinadas quando existirem. Encontre os valores críticos de primeira e segunda ordens, os extremos relativos e absolutos (caso existam), os intervalos de crescimento, de decrescimento, pontos de inflexão e intervalos de concavidade e, esboce o gráfico da função indicando os interceptos ox e oy.
d) f(x) = ln(x) / x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa função . O que precisamos fazer é encontrar as assíntotas, os valores críticos, os extremos relativos e absolutos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os pontos de inflexão, os intervalos de concavidade e, por fim, esboçar o gráfico indicando os interceptos com os eixos e . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e análise de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos procurar as assíntotas da função.
Assíntotas Verticais:
Assíntotas verticais ocorrem onde a função tende ao infinito. Observando , vemos que o denominador não pode ser zero, então x = 0 é um ponto a ser analisado.
Portanto, temos uma assíntota vertical em .
Assíntotas Horizontais ou Inclinadas:
Para encontrar assíntotas horizontais, analisamos o limite de quando tende ao infinito.
Então, há uma assíntota horizontal em .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os interceptos com os eixos e .
Intercepto com o eixo :
Para :
Então, o intercepto com o eixo é .
Intercepto com o eixo :
Também ocorre em , já que .

Passo 4

Vamos encontrar os valores críticos da função, ou seja, onde a primeira derivada é zero ou não existe.
Primeiro, calculamos a primeira derivada . Usando a regra do quociente:
Para encontrar os valores críticos, igualamos :
Então, temos um valor crítico em .

Passo 5

Determinar se o valor crítico é um máximo ou mínimo.
Vamos usar o teste da primeira derivada. Observamos o sinal de ao redor de :
  • Para , , então (função crescente).
  • Para , , então (função decrescente).
Portanto, em temos um máximo relativo.

Passo 6

Agora, vamos encontrar os extremos absolutos. Já que a função tende a zero quando vai para o infinito e possui um máximo relativo em , esse máximo é também o extremo absoluto na área considerada.

Passo 7

Vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento.
  • Crescimento: Quando , ou seja, para .
  • Decrescimento: Quando , ou seja, para .

Passo 8

Agora, calculamos a segunda derivada para encontrar os pontos de inflexão e analisar a concavidade.
Primeira derivada:
Calculando a segunda derivada:
Para encontrar os pontos de inflexão, igualamos :
Então, há um ponto de inflexão em .

Passo 9

Analisar a concavidade nos intervalos definidos pela segunda derivada.
  • Concavidade para : (concava para baixo).
  • Concavidade para : (concava para cima).

Passo 10

Finalmente, vamos esboçar o gráfico com todas as informações:
  • Assíntota vertical: .
  • Assíntota horizontal: .
  • Interceptos: .
  • Ponto de máximo: .
  • Ponto de inflexão: .
  • Crescimento: .
  • Decrescimento: .
  • Concavidade:
    • Concava para baixo: .
    • Concava para cima: .

Resposta

A função possui:
  • Uma assíntota vertical em e uma assíntota horizontal em .
  • Um intercepto único com os eixos em .
  • Um ponto de máximo relativo e absoluto em .
  • Cresce no intervalo e decresce para .
  • Um ponto de inflexão em , com a concavidade mudando de para baixo para para cima.
  • O gráfico apresenta a forma caracterizada por essas propriedades, respeitando as assíntotas e interceptos determinados.

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