Dada a função
, determine as assíntotas verticais, horizontais ou inclinadas quando existirem. Encontre os valores críticos de primeira e segunda ordens, os extremos relativos e absolutos (caso existam), os intervalos de crescimento, de decrescimento, pontos de inflexão e intervalos de concavidade e, esboce o gráfico da função indicando os interceptos ox e oy.
d)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa função
. O que precisamos fazer é encontrar as assíntotas, os valores críticos, os extremos relativos e absolutos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os pontos de inflexão, os intervalos de concavidade e, por fim, esboçar o gráfico indicando os interceptos com os eixos
e
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e análise de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos procurar as assíntotas da função.
Assíntotas Verticais:
Assíntotas verticais ocorrem onde a função tende ao infinito. Observando , vemos que o denominador
não pode ser zero, então x = 0 é um ponto a ser analisado.
Assíntotas verticais ocorrem onde a função tende ao infinito. Observando
Portanto, temos uma assíntota vertical em
.
Assíntotas Horizontais ou Inclinadas:
Para encontrar assíntotas horizontais, analisamos o limite de quando
tende ao infinito.
Para encontrar assíntotas horizontais, analisamos o limite de
Então, há uma assíntota horizontal em
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os interceptos com os eixos
e
.
Intercepto com o eixo
:
Para :
Para
Então, o intercepto com o eixo
é
.
Intercepto com o eixo
:
Também ocorre em , já que
.
Também ocorre em
Passo 4
Vamos encontrar os valores críticos da função, ou seja, onde a primeira derivada é zero ou não existe.
Primeiro, calculamos a primeira derivada
. Usando a regra do quociente:
Para encontrar os valores críticos, igualamos
:
Então, temos um valor crítico em
.
Passo 5
Determinar se o valor crítico
é um máximo ou mínimo.
Vamos usar o teste da primeira derivada. Observamos o sinal de
ao redor de
:
- Para
, , então (função crescente). - Para
, , então (função decrescente).
Portanto, em
temos um máximo relativo.
Passo 6
Agora, vamos encontrar os extremos absolutos. Já que a função tende a zero quando
vai para o infinito e possui um máximo relativo em
, esse máximo é também o extremo absoluto na área considerada.
Passo 7
Vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento.
- Crescimento: Quando
, ou seja, para . - Decrescimento: Quando
, ou seja, para .
Passo 8
Agora, calculamos a segunda derivada
para encontrar os pontos de inflexão e analisar a concavidade.
Primeira derivada:
Calculando a segunda derivada:
Para encontrar os pontos de inflexão, igualamos
:
Então, há um ponto de inflexão em
.
Passo 9
Analisar a concavidade nos intervalos definidos pela segunda derivada.
- Concavidade para
: (concava para baixo). - Concavidade para
: (concava para cima).
Passo 10
Finalmente, vamos esboçar o gráfico com todas as informações:
- Assíntota vertical:
. - Assíntota horizontal:
. - Interceptos:
. - Ponto de máximo:
. - Ponto de inflexão:
. - Crescimento:
. - Decrescimento:
. - Concavidade:
- Concava para baixo:
. - Concava para cima:
.
- Concava para baixo:
Resposta
A função
possui:
- Uma assíntota vertical em
e uma assíntota horizontal em . - Um intercepto único com os eixos em
. - Um ponto de máximo relativo e absoluto em
. - Cresce no intervalo
e decresce para . - Um ponto de inflexão em
, com a concavidade mudando de para baixo para para cima. - O gráfico apresenta a forma caracterizada por essas propriedades, respeitando as assíntotas e interceptos determinados.
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а) e
а)
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