Faça o que se pede
a) Determine os números reais a e b para que f(x) = { 2x - 1 se x < 2, a se x = 2, x^2 + b se x > 2 } seja contínua. Verifique se a função f é diferenciável em x = 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função definida por partes e precisamos encontrar os valores reais de e para que essa função seja contínua. Além disso, vamos verificar se a função é diferenciável em . Para isso, vamos trabalhar com conceitos de continuidade e diferenciabilidade em funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em . Para isso, os limites laterais quando se aproxima de 2 pela esquerda e pela direita precisam ser iguais e também iguais ao valor da função em , que é .

Passo 3

Calculando o limite pela esquerda ( ):

Passo 4

Calculando o limite pela direita ( ):

Passo 5

Para a função ser contínua em , esses dois limites devem ser iguais e iguais ao valor da função em :

Passo 6

Agora, temos um sistema de equações:

Passo 7

Com e , a função é contínua em . Agora, vamos verificar se ela é diferenciável em . Para isso, os limites das derivadas pela esquerda e pela direita em precisam ser iguais.

Passo 8

Calculando a derivada pela esquerda ( ):
Então,

Passo 9

Calculando a derivada pela direita ( ):
Então,

Passo 10

Como os limites das derivadas pela esquerda e pela direita são diferentes ( ), a função não é diferenciável em .

Resposta

Os valores são e . A função não é diferenciável em .

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