Faça o que se pede
a) Determine os números reais a e para que seja contínua. Verifique se a função f é diferenciável em x = 2
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função definida por partes e precisamos encontrar os valores reais de e para que essa função seja contínua. Além disso, vamos verificar se a função é diferenciável em . Para isso, vamos trabalhar com conceitos de continuidade e diferenciabilidade em funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em . Para isso, os limites laterais quando se aproxima de 2 pela esquerda e pela direita precisam ser iguais e também iguais ao valor da função em , que é .
Passo 3
Calculando o limite pela esquerda ():
Passo 4
Calculando o limite pela direita ():
Passo 5
Para a função ser contínua em , esses dois limites devem ser iguais e iguais ao valor da função em :
Passo 6
Agora, temos um sistema de equações:
Passo 7
Com e , a função é contínua em . Agora, vamos verificar se ela é diferenciável em . Para isso, os limites das derivadas pela esquerda e pela direita em precisam ser iguais.
Passo 8
Calculando a derivada pela esquerda ():
Então,
Passo 9
Calculando a derivada pela direita ():
Então,
Passo 10
Como os limites das derivadas pela esquerda e pela direita são diferentes (), a função não é diferenciável em .
Resposta
Os valores são e . A função não é diferenciável em .