Esboce a região
а) A = {(x, y) in R^2 ; 0 < x*y < 2, x^2 + y^2 <= 5} e x > 0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema. A gente precisa esboçar a região no plano cartesiano que satisfaz as seguintes condições:
Isso envolve entender inequações, gráficos de funções no plano e áreas delimitadas por círculos e hipérboles. Vamos precisar desenhar cada uma dessas condições e ver onde elas se sobrepõem.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a condição . Isso significa que estamos considerando apenas a parte direita do plano, a metade onde o eixo é positivo.

Passo 3

Agora, olhemos para a inequação . Essa é a equação de um círculo com raio e centro na origem . O sinal de “menor ou igual a” indica que queremos todos os pontos dentro e na borda desse círculo.

Passo 4

Em seguida, vamos tratar da inequação . Primeiro, significa que e têm o mesmo sinal. Como já temos , isso implica que . Portanto, estamos focando apenas no primeiro quadrante.

Passo 5

A segunda parte, , pode ser reescrita como . Essa é a equação de uma hipérbole no primeiro quadrante. Queremos todos os pontos abaixo dessa curva.

Passo 6

Agora, vamos juntar tudo:
  • Estamos no primeiro quadrante ( ).
  • Dentro do círculo de raio .
  • Abaixo da hipérbole .

Passo 7

Para esboçar a região:
  1. Desenhe o círculo com raio centrado na origem.
  2. Limite-se à parte do círculo onde e .
  3. Desenhe a hipérbole no primeiro quadrante.
  4. A região desejada é a parte do primeiro quadrante dentro do círculo e abaixo da hipérbole.

Resposta

A região é a área no primeiro quadrante ( ) que está dentro do círculo de raio centrado na origem e abaixo da hipérbole . O esboço desse conjunto mostra essa área delimitada pelas curvas mencionadas.

Exercícios relacionados

Dada a função f(x), determine as assíntotas verticais, horizontais ou inclinadas quando existirem. Encontre os valores críticos de primeira e segunda ordens, os extremos relativos e absolutos (caso existam), os intervalos de crescimento, de decrescimento, pontos de inflexão e intervalos de concavidade e, esboce o gráfico da função indicando os interceptos ox e oy.
d) f(x) = ln(x) / x
Esboce os gráficos das seguintes funções:
f(x) = { cos(2x), se x < 1; 2 cos(x - 1), se x ≥ 1 }
Faça o que se pede
a) Determine os números reais a e b para que f(x) = { 2x - 1 se x < 2, a se x = 2, x^2 + b se x > 2 } seja contínua. Verifique se a função f é diferenciável em x = 2
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma. sumn=2^infty (-1)^nln n