Esboce a região
а)
e
а)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema. A gente precisa esboçar a região
no plano cartesiano que satisfaz as seguintes condições:
Isso envolve entender inequações, gráficos de funções no plano e áreas delimitadas por círculos e hipérboles. Vamos precisar desenhar cada uma dessas condições e ver onde elas se sobrepõem.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a condição
. Isso significa que estamos considerando apenas a parte direita do plano, a metade onde o eixo
é positivo.
Passo 3
Agora, olhemos para a inequação
. Essa é a equação de um círculo com raio
e centro na origem
. O sinal de “menor ou igual a” indica que queremos todos os pontos dentro e na borda desse círculo.
Passo 4
Em seguida, vamos tratar da inequação
. Primeiro,
significa que
e
têm o mesmo sinal. Como já temos
, isso implica que
. Portanto, estamos focando apenas no primeiro quadrante.
Passo 5
A segunda parte,
, pode ser reescrita como
. Essa é a equação de uma hipérbole no primeiro quadrante. Queremos todos os pontos abaixo dessa curva.
Passo 6
Agora, vamos juntar tudo:
- Estamos no primeiro quadrante (
). - Dentro do círculo de raio
. - Abaixo da hipérbole
.
Passo 7
Para esboçar a região:
- Desenhe o círculo com raio
centrado na origem. - Limite-se à parte do círculo onde
e . - Desenhe a hipérbole
no primeiro quadrante. - A região desejada é a parte do primeiro quadrante dentro do círculo e abaixo da hipérbole.
Resposta
A região
é a área no primeiro quadrante (
) que está dentro do círculo de raio
centrado na origem e abaixo da hipérbole
. O esboço desse conjunto mostra essa área delimitada pelas curvas mencionadas.