Esboce a região
а) A = {(x, y) in R^2 ; 0 < x*y < 2, x^2 + y^2 <= 5} e x > 0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema. A gente precisa esboçar a região no plano cartesiano que satisfaz as seguintes condições:
Isso envolve entender inequações, gráficos de funções no plano e áreas delimitadas por círculos e hipérboles. Vamos precisar desenhar cada uma dessas condições e ver onde elas se sobrepõem.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a condição . Isso significa que estamos considerando apenas a parte direita do plano, a metade onde o eixo é positivo.

Passo 3

Agora, olhemos para a inequação . Essa é a equação de um círculo com raio e centro na origem . O sinal de “menor ou igual a” indica que queremos todos os pontos dentro e na borda desse círculo.

Passo 4

Em seguida, vamos tratar da inequação . Primeiro, significa que e têm o mesmo sinal. Como já temos , isso implica que . Portanto, estamos focando apenas no primeiro quadrante.

Passo 5

A segunda parte, , pode ser reescrita como . Essa é a equação de uma hipérbole no primeiro quadrante. Queremos todos os pontos abaixo dessa curva.

Passo 6

Agora, vamos juntar tudo:
  • Estamos no primeiro quadrante ( ).
  • Dentro do círculo de raio .
  • Abaixo da hipérbole .

Passo 7

Para esboçar a região:
  1. Desenhe o círculo com raio centrado na origem.
  2. Limite-se à parte do círculo onde e .
  3. Desenhe a hipérbole no primeiro quadrante.
  4. A região desejada é a parte do primeiro quadrante dentro do círculo e abaixo da hipérbole.

Resposta

A região é a área no primeiro quadrante ( ) que está dentro do círculo de raio centrado na origem e abaixo da hipérbole . O esboço desse conjunto mostra essa área delimitada pelas curvas mencionadas.

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