Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema. A gente precisa esboçar a região no plano cartesiano que satisfaz as seguintes condições:
Isso envolve entender inequações, gráficos de funções no plano e áreas delimitadas por círculos e hipérboles. Vamos precisar desenhar cada uma dessas condições e ver onde elas se sobrepõem.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a condição . Isso significa que estamos considerando apenas a parte direita do plano, a metade onde o eixo é positivo.
Passo 3
Agora, olhemos para a inequação . Essa é a equação de um círculo com raio e centro na origem . O sinal de “menor ou igual a” indica que queremos todos os pontos dentro e na borda desse círculo.
Passo 4
Em seguida, vamos tratar da inequação . Primeiro, significa que e têm o mesmo sinal. Como já temos , isso implica que . Portanto, estamos focando apenas no primeiro quadrante.
Passo 5
A segunda parte, , pode ser reescrita como . Essa é a equação de uma hipérbole no primeiro quadrante. Queremos todos os pontos abaixo dessa curva.
Passo 6
Agora, vamos juntar tudo:
Estamos no primeiro quadrante ().
Dentro do círculo de raio .
Abaixo da hipérbole .
Passo 7
Para esboçar a região:
Desenhe o círculo com raio centrado na origem.
Limite-se à parte do círculo onde e .
Desenhe a hipérbole no primeiro quadrante.
A região desejada é a parte do primeiro quadrante dentro do círculo e abaixo da hipérbole.
Resposta
A região é a área no primeiro quadrante () que está dentro do círculo de raio centrado na origem e abaixo da hipérbole . O esboço desse conjunto mostra essa área delimitada pelas curvas mencionadas.