QUESTÃO 01 - (1.0 PONTOS)
CONSIDERANDO A FUNÇÃO DADA POR:
F(Z) = Z / ((Z - 0,2) * (Z - 0,7))
CALCULE A TRANSFORMADA Z INVERSA DA FUNÇÃO.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função e pede para calcular a transformada Z inversa dela. Isso faz parte do conteúdo de Transformada Z, que é uma ferramenta usada para analisar sistemas discretos em engenharia e matemática. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de frações parciais para decompôr a função e então encontrar a transformada inversa de cada parte.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função . Temos:
Queremos quebrar essa fração em frações parciais, o que significa escrever como uma soma de termos mais simples. Vamos supor que:
Aqui, e são coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar os valores de e , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Agora, expandimos a expressão do lado direito:
Juntando os termos semelhantes:

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação. Para o termo :
E para o termo constante:
Temos um sistema de equações para resolver:

Passo 5

Resolvendo o sistema, da primeira equação, podemos expressar em termos de :
Substituindo na segunda equação:
Simplificando:
Então, .

Passo 6

Agora que temos e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:

Passo 7

Para encontrar a transformada Z inversa, lembramos que:
Onde é a função degrau unitário.
Aplicando isso aos termos de :

Resposta

A transformada Z inversa de é:

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