QUESTÃO 01 - (1.0 PONTOS)
CONSIDERANDO A FUNÇÃO DADA POR:
CALCULE A TRANSFORMADA Z INVERSA DA FUNÇÃO.
CONSIDERANDO A FUNÇÃO DADA POR:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função
e pede para calcular a transformada Z inversa dela. Isso faz parte do conteúdo de Transformada Z, que é uma ferramenta usada para analisar sistemas discretos em engenharia e matemática. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de frações parciais para decompôr a função e então encontrar a transformada inversa de cada parte.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
. Temos:
Queremos quebrar essa fração em frações parciais, o que significa escrever
como uma soma de termos mais simples. Vamos supor que:
Aqui,
e
são coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Para encontrar os valores de
e
, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Agora, expandimos a expressão do lado direito:
Juntando os termos semelhantes:
Passo 4
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação. Para o termo
:
E para o termo constante:
Temos um sistema de equações para resolver:
Passo 5
Resolvendo o sistema, da primeira equação, podemos expressar
em termos de
:
Substituindo na segunda equação:
Simplificando:
Então,
.
Passo 6
Agora que temos
e
, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Passo 7
Para encontrar a transformada Z inversa, lembramos que:
Onde
é a função degrau unitário.
Aplicando isso aos termos de
:
Resposta
A transformada Z inversa de
é: