Seja f(x) = { x², x < 2; a x + b, x ≥ 2 }, ache os valores de a e b que faça f diferenciável em R.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes:
Queremos encontrar os valores de e que fazem ser diferenciável em todos os números reais. Para isso, precisamos garantir que a função seja contínua em e que as derivadas das duas partes da função sejam iguais nesse ponto.

Passo 2

Para a função ser contínua em , os limites das duas partes da função quando se aproxima de 2 devem ser iguais a . Vamos calcular esses limites.
Quando (pela esquerda):
Quando , temos:
Para garantir a continuidade:
çã

Passo 3

Agora, vamos garantir que as derivadas das duas partes da função sejam iguais em . Primeiro, calculamos as derivadas de cada parte.
Para :
Para :
No ponto , as derivadas devem ser iguais:
çã

Passo 4

Agora que encontramos , substituímos esse valor na Equação 1 para encontrar :

Resposta

Os valores que fazem diferenciável em são e .

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