Seja
, ache os valores de a e b que faça
diferenciável em R.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes:
Queremos encontrar os valores de
e
que fazem
ser diferenciável em todos os números reais. Para isso, precisamos garantir que a função seja contínua em
e que as derivadas das duas partes da função sejam iguais nesse ponto.
Passo 2
Para a função ser contínua em
, os limites das duas partes da função quando
se aproxima de 2 devem ser iguais a
. Vamos calcular esses limites.
Quando
(pela esquerda):
Quando
, temos:
Para garantir a continuidade:
Passo 3
Agora, vamos garantir que as derivadas das duas partes da função sejam iguais em
. Primeiro, calculamos as derivadas de cada parte.
Para
:
Para
:
No ponto
, as derivadas devem ser iguais:
Passo 4
Agora que encontramos
, substituímos esse valor na Equação 1 para encontrar
:
Resposta
Os valores que fazem
diferenciável em
são
e
.