Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = x^2 - 6x e que seja perpendicular à reta r: 2y + x = 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função que seja perpendicular à reta . Para isso, vamos precisar saber sobre derivadas (para encontrar a inclinação da reta tangente) e sobre propriedades das retas perpendiculares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a inclinação da reta . Para isso, vamos colocar a equação na forma , onde é a inclinação.
Começando com , subtraímos de ambos os lados:
Agora, dividimos tudo por 2:
Então, a inclinação da reta é .

Passo 3

Como as retas que são perpendiculares têm inclinações que são negativas inversas uma da outra, a inclinação da nossa reta tangente vai ser o negativo do inverso de .
Calculando isso:
Então, a inclinação da reta tangente que buscamos é .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o ponto na função onde a reta tangente tem inclinação 2. Para isso, vamos achar a derivada de , que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto .
Calculando a derivada:
Queremos que :
Resolvendo para :

Passo 5

Com o valor de , vamos encontrar o valor de na função :
Então, o ponto de tangência é .

Passo 6

Agora que temos o ponto e a inclinação , vamos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo:

Passo 7

Vamos simplificar para a forma geral da equação:

Resposta

A equação da reta tangente é .

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