Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função
e que seja perpendicular à reta
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função
que seja perpendicular à reta
. Para isso, vamos precisar saber sobre derivadas (para encontrar a inclinação da reta tangente) e sobre propriedades das retas perpendiculares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a inclinação da reta
. Para isso, vamos colocar a equação na forma
, onde
é a inclinação.
Começando com
, subtraímos
de ambos os lados:
Agora, dividimos tudo por 2:
Então, a inclinação da reta
é
.
Passo 3
Como as retas que são perpendiculares têm inclinações que são negativas inversas uma da outra, a inclinação da nossa reta tangente vai ser o negativo do inverso de
.
Calculando isso:
Então, a inclinação da reta tangente que buscamos é
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o ponto na função
onde a reta tangente tem inclinação 2. Para isso, vamos achar a derivada de
, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
.
Calculando a derivada:
Queremos que
:
Resolvendo para
:
Passo 5
Com o valor de
, vamos encontrar o valor de
na função
:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 6
Agora que temos o ponto
e a inclinação
, vamos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo:
Passo 7
Vamos simplificar para a forma geral da equação:
Resposta
A equação da reta tangente é
.