Dada a função
, faça o que se pede: Determine os valores críticos de
e
ordem de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa encontrar os valores críticos de 1ª e 2ª ordem dessa função. Isso quer dizer que vamos procurar os pontos onde a primeira derivada é zero (pontos críticos) e analisar a segunda derivada para entender se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções exponenciais e usar as regras de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função
. A função é
. Para derivar isso, usamos a regra da cadeia.
A derivada de
em relação a
é
, onde
é uma função de
.
Aqui,
, então
.
Então, a primeira derivada fica:
Passo 3
Agora, vamos achar os valores críticos de 1ª ordem. Esses são os valores de
onde a primeira derivada é igual a zero ou não existe. Como a nossa derivada
está definida para todo
, só precisamos resolver:
Sabemos que
nunca é zero, então a única solução vem de
, ou seja:
Portanto, temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Para entender a natureza desse ponto crítico, vamos calcular a segunda derivada da função. Vamos derivar
.
Usando a regra do produto, onde derivamos cada parte e somamos:
Calculando cada parte:
Então, a segunda derivada é:
Podemos fatorar
:
Passo 5
Agora, vamos avaliar a segunda derivada no ponto crítico
para determinar se é um ponto de máximo, mínimo ou inflexão.
Substituindo
na segunda derivada:
Como
, isso indica que a curva tem uma concavidade para baixo nesse ponto, ou seja,
é um ponto de máximo local.
Resposta
O valor crítico de 1ª ordem é
, que é um ponto de máximo local.
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Dada a função
, faça o que se pede: Calcule
e
Determine