Dada a função , faça o que se pede: Determine os valores críticos de e ordem de

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa encontrar os valores críticos de 1ª e 2ª ordem dessa função. Isso quer dizer que vamos procurar os pontos onde a primeira derivada é zero (pontos críticos) e analisar a segunda derivada para entender se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções exponenciais e usar as regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função . A função é . Para derivar isso, usamos a regra da cadeia.
A derivada de em relação a é , onde é uma função de .
Aqui, , então .
Então, a primeira derivada fica:

Passo 3

Agora, vamos achar os valores críticos de 1ª ordem. Esses são os valores de onde a primeira derivada é igual a zero ou não existe. Como a nossa derivada está definida para todo , só precisamos resolver:
Sabemos que nunca é zero, então a única solução vem de , ou seja:
Portanto, temos um ponto crítico em .

Passo 4

Para entender a natureza desse ponto crítico, vamos calcular a segunda derivada da função. Vamos derivar .
Usando a regra do produto, onde derivamos cada parte e somamos:
Calculando cada parte:
Então, a segunda derivada é:
Podemos fatorar :

Passo 5

Agora, vamos avaliar a segunda derivada no ponto crítico para determinar se é um ponto de máximo, mínimo ou inflexão.
Substituindo na segunda derivada:
Como , isso indica que a curva tem uma concavidade para baixo nesse ponto, ou seja, é um ponto de máximo local.

Resposta

O valor crítico de 1ª ordem é , que é um ponto de máximo local.

Exercícios relacionados

Encontre :
Dada a função , faça o que se pede: Calcule e
Determine