Determine lim x +infty ln (2+e^x)3 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos o limite quando tende a mais infinito da expressão . Aqui, estamos lidando com funções logarítmicas e exponenciais, então vamos precisar entender como elas se comportam quando fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no que está dentro do logaritmo: 2 + e^x approx e^x quando x é grande . Quando cresce, cresce muito rápido, muito mais rápido que a constante 2. Na prática, para valores muito grandes de , o termo 2 se torna praticamente insignificante comparado a . Portanto, podemos aproximar:
é

Passo 3

Agora, vamos substituir essa aproximação na expressão original:
ln (2 + e^x) approx ln (e^x)
Sabemos que o logaritmo natural de ln (e^x) = x é simplesmente :

Passo 4

Com essa simplificação, nossa expressão original fica assim:
ln (2 + e^x)3 x approx x3 x
Os x3 x = 13 no numerador e no denominador se cancelam, deixando:

Resposta

lim x +infty ln (2+e^x)3 x = 13

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