Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
sumn=2^infty (-3)^n+1 2^3-4 n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a série converge ou diverge. Se convergir, também precisamos calcular a soma. Vamos usar os conceitos de séries geométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para identificar melhor o padrão.
(-3)^n+1 2^3-4n = (-3)^n+1 cdot 2^3 cdot 2^-4n = (-3)^n+1 cdot 8 cdot (12)^4n

Passo 3

Agora, vamos reescrever -3 cdot (-3)^n cdot 8 cdot (12)^4n = -24 cdot ( (-3) cdot (12)^4 )^n como (12)^4 = 116 :
-24 cdot ( -316 )^n
Simplificando :
Então, o termo fica:

Passo 4

Observamos que a série agora está na forma a = -24 e r = -316 , onde:
Isso indica que estamos lidando com uma série geométrica.

Passo 5

Para uma série geométrica , ela converge se e a soma é dada por .
No nosso caso, , então a série converge.

Passo 6

Vamos ajustar nossos índices. A nossa série começa em sumn=2^infty -24 (-316)^n = -24 [ sumn=0^infty (-316)^n - (-316)^0 - (-316)^1 ] , mas a fórmula padrão começa em sumn=0^infty (-316)^n = 11 - (-316) = 11 + 316 = 11916 = 1619 . Podemos reescrever a série a partir de (-316)^0 = 1 e (-316)^1 = -316 :
-24 ( 1619 - 1 + 316 ) = -24 ( 1619 - 1919 + 316 ) = -24 ( -319 + 316 )
Calculando cada parte:
-319 + 316 = -3 cdot 16 + 3 cdot 1919 cdot 16 = -48 + 57304 = 9304
-24 cdot 9304 = -216304 = -2738
Substituindo de volta:
Calculando a expressão dentro dos parênteses:
Finalmente:

Resposta

A série converge e a soma dela é .

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