Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a série converge ou diverge. Se convergir, também precisamos calcular a soma. Vamos usar os conceitos de séries geométricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para identificar melhor o padrão.
Passo 3
Agora, vamos reescrever como :
Simplificando :
Então, o termo fica:
Passo 4
Observamos que a série agora está na forma , onde:
Isso indica que estamos lidando com uma série geométrica.
Passo 5
Para uma série geométrica , ela converge se e a soma é dada por .
No nosso caso, , então a série converge.
Passo 6
Vamos ajustar nossos índices. A nossa série começa em sumn=2^infty -24 (-316)^n = -24 [ sumn=0^infty (-316)^n - (-316)^0 - (-316)^1 ] , mas a fórmula padrão começa em sumn=0^infty (-316)^n = 11 - (-316) = 11 + 316 = 11916 = 1619 . Podemos reescrever a série a partir de (-316)^0 = 1 e (-316)^1 = -316 :