Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Passo 1
Então, o que a gente precisa fazer aqui é determinar se a série
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também vai calcular a soma. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Integral, que nos ajuda a entender o comportamento de séries infinitas através de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a série começando de
, porque quando
,
e teríamos uma divisão por zero, o que não é válido. Então, a série fica:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Integral. Esse teste diz que se a função
é positiva, contínua e decrescente para
, então a série
e a integral
convergem ou divergem juntas.
Aqui, nossa função é
. Ela é positiva, contínua e decrescente para
, então podemos aplicar o teste.
Passo 4
Vamos calcular a integral correspondente:
Para resolver essa integral, faremos uma substituição. Vamos deixar
, então
. Precisamos também ajustar os limites de integração:
- Quando
, . - Quando
, .
Agora, reescrevemos a integral em termos de
:
Passo 5
A integral
diverge, porque o numerador
cresce exponencialmente enquanto o denominador
cresce apenas linearmente. Isso faz com que a integral seja infinita.
Resposta
Como a integral correspondente diverge, pelo Teste da Integral, a série
também diverge.
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Esta função é contínua para
? Justifique sua resposta utilizando a Definição 3.8 da apostila.
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