Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
sumn=1^infty 1raizn ln (n)

Passo 1

Então, o que a gente precisa fazer aqui é determinar se a série sumn=1^infty 1raizn ln (n) converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também vai calcular a soma. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Integral, que nos ajuda a entender o comportamento de séries infinitas através de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série começando de n=2, porque quando n=1, ln(1) = 0 e teríamos uma divisão por zero, o que não é válido. Então, a série fica:
sumn=2^infty 1raizn ln (n)

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Integral. Esse teste diz que se a função f(n) é positiva, contínua e decrescente para n >= N, então a série sumn=N^infty f(n) e a integral integralN^infty f(x) dx convergem ou divergem juntas.
Aqui, nossa função é f(n) = 1raizn ln (n). Ela é positiva, contínua e decrescente para n >= 3, então podemos aplicar o teste.

Passo 4

Vamos calcular a integral correspondente:
integral2^infty 1raizx ln (x) dx
Para resolver essa integral, faremos uma substituição. Vamos deixar t = ln(x), então dt = 1x dx. Precisamos também ajustar os limites de integração:
  • Quando x = 2, t = ln(2).
  • Quando x to infty, t to infty.
Agora, reescrevemos a integral em termos de t:
integralln(2)^infty 1raize^t cdot t cdot e^t dt = integralln(2)^infty e^t/2t dt

Passo 5

A integral integralln(2)^infty e^t/2t dt diverge, porque o numerador e^t/2 cresce exponencialmente enquanto o denominador t cresce apenas linearmente. Isso faz com que a integral seja infinita.

Resposta

Como a integral correspondente diverge, pelo Teste da Integral, a série sumn=2^infty 1raizn ln (n) também diverge.

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