Dada a função f(x) = { 0, 0 < x < 1/2 pi; 1, 1/2 pi < x < pi },
Desenvolva f(x) em série de Fourier de senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de f(x) de período 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida de duas maneiras diferentes no intervalo . Nosso objetivo é desenvolver essa função em uma série de Fourier usando somente funções seno e, depois, desenhar o gráfico da extensão periódica dessa função com período . Vamos precisar entender o que é uma série de Fourier de senos e como calcular os coeficientes dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier de senos é uma maneira de representar uma função periódica como uma soma infinita de funções seno com diferentes frequências e amplitudes. Isso é útil para analisar funções que não são necessariamente suaves ou contínuas.

Passo 3

Como nossa função é definida no intervalo , para desenvolver a série de Fourier de senos, assumimos que a função é ímpar em relação ao eixo . Isso significa que, ao estender a função para todo o eixo real, ela será periódica com período e repetirá seu comportamento a cada intervalo de .

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes da série de Fourier de senos. A fórmula geral para o coeficiente em uma série de senos é:
Onde é um número inteiro positivo.

Passo 5

Vamos calcular substituindo na integral:
O primeiro termo desaparece porque nessa parte do intervalo.

Passo 6

Agora, calculamos a integral restante:
Integrando, temos:

Passo 7

Simplificando:
Sabemos que e varia dependendo de . Porém, para a série de senos, os coeficientes se simplificam de forma que só os termos ímpares permanecem.

Passo 8

Portanto, os coeficientes são:
éí
é

Passo 9

Agora, podemos escrever a série de Fourier de senos para :
Onde é um número inteiro positivo.

Resposta

A série de Fourier de senos para a função é dada por:
Essa série representa a extensão periódica de com período .

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