Prove que 2^(n+1) < 3^n para todo n > 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que para todo . A matéria envolvida aqui é Indução Matemática, que é uma técnica usada para provar que uma afirmação vale para todos os números naturais a partir de um certo ponto. Vamos precisar entender como funciona a indução e aplicar seus passos para resolver esse exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a desigualdade funciona para o menor valor de que é maior que 1, ou seja, . Isso é chamado de base da indução.
Calculando:
Então, . A base da indução está confirmada!

Passo 3

Agora, vamos ao passo indutivo. Suponha que a desigualdade seja verdadeira para algum número inteiro . Precisamos mostrar que isso implica que , ou seja, .
Vamos manipular a expressão:
Pela hipótese de indução, sabemos que . Então:
Agora, queremos comparar com :
Então, se mostrarmos que:
Isso é óbvio, porque . Portanto:
Isso confirma que, se a desigualdade vale para , também vale para .

Passo 4

Como verificamos a base da indução para e mostramos que, se a desigualdade vale para , ela também vale para , concluímos que a desigualdade é verdadeira para todo por indução matemática.

Resposta

Portanto, para todo , é verdadeiro.

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