Prove que
para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que
para todo
. A matéria envolvida aqui é Indução Matemática, que é uma técnica usada para provar que uma afirmação vale para todos os números naturais a partir de um certo ponto. Vamos precisar entender como funciona a indução e aplicar seus passos para resolver esse exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a desigualdade funciona para o menor valor de
que é maior que 1, ou seja,
. Isso é chamado de base da indução.
Calculando:
Então,
. A base da indução está confirmada!
Passo 3
Agora, vamos ao passo indutivo. Suponha que a desigualdade
seja verdadeira para algum número inteiro
. Precisamos mostrar que isso implica que
, ou seja,
.
Vamos manipular a expressão:
Pela hipótese de indução, sabemos que
. Então:
Agora, queremos comparar
com
:
Então, se mostrarmos que:
Isso é óbvio, porque
. Portanto:
Isso confirma que, se a desigualdade vale para
, também vale para
.
Passo 4
Como verificamos a base da indução para
e mostramos que, se a desigualdade vale para
, ela também vale para
, concluímos que a desigualdade
é verdadeira para todo
por indução matemática.
Resposta
Portanto, para todo
,
é verdadeiro.