Dada a função f(x) = { x^2 - 4, x <= 3; 8 - x, 3 < x <= 5; 3, x > 5 }, verifique se existe a derivada nos pontos indicados. Em caso afirmativo, calcule a derivada nesses pontos. No ponto de x0 = 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que está dividida em três pedaços diferentes dependendo do valor de . A questão pede para verificar se a derivada existe no ponto e, se existir, calcular esse valor. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções deriváveis e derivadas laterais.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função é contínua em . Se não for contínua, já sabemos que a derivada não existe nesse ponto.
A função é dada por:
Vamos calcular o limite pela esquerda e pela direita de e ver se eles são iguais ao valor da função em .

Passo 3

Calculando o limite pela esquerda ( ):
Calculando o limite pela direita ( ):
E o valor da função em é:
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e também iguais ao valor da função, a função é contínua em .

Passo 4

Agora vamos ver se a derivada existe em . Para isso, precisamos calcular as derivadas laterais e ver se elas são iguais.
A derivada pela esquerda é a derivada da primeira parte da função:
Então,
A derivada pela direita é a derivada da segunda parte da função:

Passo 5

Agora, comparamos as derivadas laterais:
Como , as derivadas laterais não são iguais.

Resposta

Não existe derivada no ponto , pois as derivadas laterais são diferentes.

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