Dada a função
Utilize a definição de derivada pra verificar se existe . Esboce o gráfico de .
Resposta: Não existe

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função definida por partes:
A gente precisa usar a definição de derivada para verificar se existe a derivada de em . Além disso, vamos esboçar o gráfico dessa função. Então, vamos precisar entender como funciona a derivada e como aplicar a definição dela nesse caso específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada de uma função em um ponto. A derivada de em é dada pelo limite:
No nosso caso, queremos encontrar . Então, substituindo :

Passo 3

Vamos calcular esse limite tanto para se aproximando de 0 pela direita ( ) quanto pela esquerda ( ).
Para :
Quando é positivo e tende a 0, estamos na parte da função onde , ou seja, .
Sabemos que . Então:
Portanto, o limite pela direita é 1:
Para :
Quando é negativo e tende a 0, estamos na parte da função onde , ou seja, .
Sabemos que . Então:
Agora, vamos analisar o limite:
Quando se aproxima de 0 pela esquerda ( negativo), tende a . Portanto:

Passo 4

Observamos que os limites laterais são diferentes:
  • Limite pela direita: 1
  • Limite pela esquerda:
Como os limites não são iguais, o limite geral que define a derivada não existe.

Resposta

Não existe .

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Seja
(b) Esboce o gráfico de .