Seja
(b) Esboce o gráfico de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A função
é definida de duas maneiras diferentes, dependendo do valor de
. Nosso objetivo aqui é esboçar o gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar entender como cada parte da função se comporta e como elas se juntam no gráfico final.
Passo 2
Vamos separar a função
em duas partes com base nas condições dadas:
-
Quando
: Aqui,é uma função quadrática, que geralmente tem a forma de uma parábola. -
Quando
: Neste caso,é uma função linear, que representa uma linha reta.
Passo 3
Vamos analisar cada parte separadamente para entender como desenhá-las no gráfico.
Para
:
- Função Quadrática
: - Vértice da Parábola: A função
tem sua vértice no ponto . - Forma da Parábola: Como o coeficiente de
é positivo, a parábola se abre para cima. - Intervalo: Esta parte da função é válida para todos os
menores que 1.
- Vértice da Parábola: A função
Para
:
- Função Linear
: - Inclinação: O coeficiente 2 indica que a linha sobe 2 unidades no eixo
para cada 1 unidade que avança no eixo . - Intercepto: Quando
, , então o intercepto no eixo é em . - Intervalo: Esta parte é válida para todos os
maiores ou iguais a 1.
- Inclinação: O coeficiente 2 indica que a linha sobe 2 unidades no eixo
Passo 4
Agora, vamos encontrar pontos específicos para desenhar cada parte da função.
Para
:
- Ponto de Vértice:
. - Outros Pontos:
- Se
, então . - Se
, embora não esteja incluído nesta parte, é bom calcular para saber o valor de transição: .
- Se
Para
:
- Ponto de Início:
. - Outro Ponto:
- Se
, então .
- Se
Passo 5
Com os pontos encontrados, podemos desenhar cada parte da função:
-
Para
: - Desenhe a parábola
, começando do lado esquerdo do gráfico até , mas sem incluir o ponto onde (pois ).
- Desenhe a parábola
-
Para
: - Desenhe a linha reta
começando em e seguindo para a direita.
- Desenhe a linha reta
Resposta
O esboço do gráfico de
apresenta uma parábola
para
e uma linha reta
para
, conectando-se suavemente no ponto
.
Exercícios relacionados
Dadas as funções
e
, determine:
Resposta:
Dada a função
Utilize a definição de derivada pra verificar se existe
. Esboce o gráfico de
.
Resposta: Não existe
Resposta: Não existe
Dadas as funções
e
, determine:
Resposta:
Resolva as seguintes equações diferenciais homogenias: