Seja
(b) Esboce o gráfico de .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A função é definida de duas maneiras diferentes, dependendo do valor de . Nosso objetivo aqui é esboçar o gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar entender como cada parte da função se comporta e como elas se juntam no gráfico final.

Passo 2

Vamos separar a função em duas partes com base nas condições dadas:
  1. Quando :
    Aqui, é uma função quadrática, que geralmente tem a forma de uma parábola.
  2. Quando :
    Neste caso, é uma função linear, que representa uma linha reta.

Passo 3

Vamos analisar cada parte separadamente para entender como desenhá-las no gráfico.

Para :

  • Função Quadrática :
    • Vértice da Parábola: A função tem sua vértice no ponto .
    • Forma da Parábola: Como o coeficiente de é positivo, a parábola se abre para cima.
    • Intervalo: Esta parte da função é válida para todos os menores que 1.

Para :

  • Função Linear :
    • Inclinação: O coeficiente 2 indica que a linha sobe 2 unidades no eixo para cada 1 unidade que avança no eixo .
    • Intercepto: Quando , , então o intercepto no eixo é em .
    • Intervalo: Esta parte é válida para todos os maiores ou iguais a 1.

Passo 4

Agora, vamos encontrar pontos específicos para desenhar cada parte da função.

Para :

  • Ponto de Vértice: .
  • Outros Pontos:
    • Se , então .
    • Se , embora não esteja incluído nesta parte, é bom calcular para saber o valor de transição: .

Para :

  • Ponto de Início: .
  • Outro Ponto:
    • Se , então .

Passo 5

Com os pontos encontrados, podemos desenhar cada parte da função:
  1. Para :
    • Desenhe a parábola , começando do lado esquerdo do gráfico até , mas sem incluir o ponto onde (pois ).
  2. Para :
    • Desenhe a linha reta começando em e seguindo para a direita.

Resposta

O esboço do gráfico de apresenta uma parábola para e uma linha reta para , conectando-se suavemente no ponto .

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