Dada a função determine: domínio e imagem,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa descobrir duas coisas: o domínio e a imagem dessa função. Pra isso, vamos precisar entender o que são domínio e imagem, além de conhecer as propriedades da função tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. A função tem pontos onde não está definida, justamente onde o cosseno de é zero, porque e a divisão por zero não existe.

Passo 3

No nosso caso, a função dentro do valor absoluto é . Então, precisamos identificar onde não está definida. Sabemos que não está definida quando , onde é qualquer número inteiro.

Passo 4

Substituindo por , temos:
Então, a tangente não está definida para , onde é um inteiro qualquer. Isso significa que esses valores de não pertencem ao domínio da função .

Passo 5

Logo, o domínio da função é todos os números reais exceto aqueles que satisfazem , com inteiro. Em notação matemática:
í

Passo 6

Agora, vamos para a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores que pode assumir. Como , o valor absoluto garante que seja sempre não negativo, ou seja, .

Passo 7

A função pode assumir qualquer valor real, de a . Então, também pode variar de a . Mas, ao aplicar o valor absoluto, qualquer número negativo vira positivo.

Passo 8

Isso significa que pode assumir qualquer valor real não negativo. Portanto, a imagem da função é:

Resposta

O domínio da função é:
E a imagem da função é:

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Dada a função determine: um esboço do gráfico.
Simplifique.