Dada a função
determine: domínio e imagem,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa descobrir duas coisas: o domínio e a imagem dessa função. Pra isso, vamos precisar entender o que são domínio e imagem, além de conhecer as propriedades da função tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. A função
tem pontos onde não está definida, justamente onde o cosseno de
é zero, porque
e a divisão por zero não existe.
Passo 3
No nosso caso, a função dentro do valor absoluto é
. Então, precisamos identificar onde
não está definida. Sabemos que
não está definida quando
, onde
é qualquer número inteiro.
Passo 4
Substituindo
por
, temos:
Então, a tangente não está definida para
, onde
é um inteiro qualquer. Isso significa que esses valores de
não pertencem ao domínio da função
.
Passo 5
Logo, o domínio da função
é todos os números reais exceto aqueles que satisfazem
, com
inteiro. Em notação matemática:
Passo 6
Agora, vamos para a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores que
pode assumir. Como
, o valor absoluto garante que
seja sempre não negativo, ou seja,
.
Passo 7
A função
pode assumir qualquer valor real, de
a
. Então,
também pode variar de
a
. Mas, ao aplicar o valor absoluto, qualquer número negativo vira positivo.
Passo 8
Isso significa que
pode assumir qualquer valor real não negativo. Portanto, a imagem da função é:
Resposta
O domínio da função
é:
E a imagem da função é: