Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa descobrir duas coisas: o domínio e a imagem dessa função. Pra isso, vamos precisar entender o que são domínio e imagem, além de conhecer as propriedades da função tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. A função tem pontos onde não está definida, justamente onde o cosseno de é zero, porque e a divisão por zero não existe.
Passo 3
No nosso caso, a função dentro do valor absoluto é . Então, precisamos identificar onde não está definida. Sabemos que não está definida quando , onde é qualquer número inteiro.
Passo 4
Substituindo por , temos:
Então, a tangente não está definida para , onde é um inteiro qualquer. Isso significa que esses valores de não pertencem ao domínio da função .
Passo 5
Logo, o domínio da função é todos os números reais exceto aqueles que satisfazem , com inteiro. Em notação matemática:
Passo 6
Agora, vamos para a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores que pode assumir. Como , o valor absoluto garante que seja sempre não negativo, ou seja, .
Passo 7
A função pode assumir qualquer valor real, de a . Então, também pode variar de a . Mas, ao aplicar o valor absoluto, qualquer número negativo vira positivo.
Passo 8
Isso significa que pode assumir qualquer valor real não negativo. Portanto, a imagem da função é: