Dada a função
determine: um esboço do gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que desenhar o gráfico da função
. Isso envolve trabalhar com funções trigonométricas, especificamente a tangente, além de entender como as transformações e o valor absoluto influenciam o gráfico. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como é o gráfico da tangente, como aplicar transformações como multiplicação por
, subtração de 1 e, por fim, o efeito do valor absoluto.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o gráfico da função
. A tangente é uma função periódica com período
, ou seja, seu padrão se repete a cada
unidades. Ela tem assinaturas verticais (linhas onde a função não está definida e tende ao infinito) em
, onde
é qualquer inteiro. Entre duas assinaturas, o gráfico da tangente passa de
a
.
Passo 3
Agora, vamos ajustar a função para
. Multiplicar o argumento da tangente por
altera o período da função. A nova função
terá período
. Isso significa que o padrão da tangente vai se repetir a cada 1 unidade ao invés de
. As assinaturas verticais agora estarão em
, onde
é qualquer inteiro.
Passo 4
Em seguida, temos a expressão
. Isso significa que estamos subtraindo a tangente de 1. Geometricamente, isso equivale a uma translação vertical do gráfico da tangente. Todo o gráfico será movido 1 unidade para baixo. Então, onde antes a função era
, agora ela será
.
Passo 5
Por último, aplicamos o valor absoluto:
. O valor absoluto faz com que todas as partes do gráfico que estavam abaixo do eixo
sejam refletidas acima dele. Ou seja, se
for negativo, o gráfico de
será positivo igual ao valor absoluto desse resultado.
Resposta
O esboço do gráfico de
apresenta uma função periódica com período 1, assinaturas verticais em
(onde
é inteiro), e todas as partes do gráfico que originalmente estavam abaixo do eixo
são refletidas acima dele devido ao valor absoluto. A função oscila entre valores positivos, aproximando-se das assinaturas verticais onde tende ao infinito.
Exercícios relacionados
Dada a função
determine: domínio e imagem,
Dê o ponto em que o gráfico de
corta o eixo
.
Simplifique.
Calcule os limites abaixo:
(a) pt
(a)