Dada a função determine: um esboço do gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que desenhar o gráfico da função . Isso envolve trabalhar com funções trigonométricas, especificamente a tangente, além de entender como as transformações e o valor absoluto influenciam o gráfico. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como é o gráfico da tangente, como aplicar transformações como multiplicação por , subtração de 1 e, por fim, o efeito do valor absoluto.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o gráfico da função . A tangente é uma função periódica com período , ou seja, seu padrão se repete a cada unidades. Ela tem assinaturas verticais (linhas onde a função não está definida e tende ao infinito) em , onde é qualquer inteiro. Entre duas assinaturas, o gráfico da tangente passa de a .

Passo 3

Agora, vamos ajustar a função para . Multiplicar o argumento da tangente por altera o período da função. A nova função terá período . Isso significa que o padrão da tangente vai se repetir a cada 1 unidade ao invés de . As assinaturas verticais agora estarão em , onde é qualquer inteiro.

Passo 4

Em seguida, temos a expressão . Isso significa que estamos subtraindo a tangente de 1. Geometricamente, isso equivale a uma translação vertical do gráfico da tangente. Todo o gráfico será movido 1 unidade para baixo. Então, onde antes a função era , agora ela será .

Passo 5

Por último, aplicamos o valor absoluto: . O valor absoluto faz com que todas as partes do gráfico que estavam abaixo do eixo sejam refletidas acima dele. Ou seja, se for negativo, o gráfico de será positivo igual ao valor absoluto desse resultado.

Resposta

O esboço do gráfico de apresenta uma função periódica com período 1, assinaturas verticais em (onde é inteiro), e todas as partes do gráfico que originalmente estavam abaixo do eixo são refletidas acima dele devido ao valor absoluto. A função oscila entre valores positivos, aproximando-se das assinaturas verticais onde tende ao infinito.

Exercícios relacionados

Dada a função determine: domínio e imagem,
Dê o ponto em que o gráfico de corta o eixo .
Simplifique.
Calcule os limites abaixo:
(a) pt