Seja uma função real dada por . Determine os zeros, o gráfico e o conjunto imagem de .
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar os zeros, o gráfico e o conjunto imagem da função real . Aqui, vamos trabalhar com funções polinomiais, valor absoluto e análise de gráficos. Precisaremos usar conceitos de resolução de equações e propriedades de funções para encontrar as soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os zeros da função . Os zeros são os valores de que fazem .
Então, temos:
Para resolver isso, vamos isolar o valor absoluto:
Passo 3
Agora, a equação significa que a expressão dentro do valor absoluto pode ser igual a 1 ou a -1. Então, temos duas equações:
Passo 4
Vamos resolver a primeira equação:
Subtraímos 1 de ambos os lados:
Agora, usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
Passo 5
Agora, vamos resolver a segunda equação:
Adicionamos 1 a ambos os lados:
Essa é uma equação quadrática perfeita:
Portanto, a única solução é:
Passo 6
Então, os zeros da função são:
Passo 7
Para esboçar o gráfico de , vamos analisar a função dentro do valor absoluto, que é uma parábola .
A parábola tem vértice no ponto e intercepta o eixo em .
Aplicando o valor absoluto, refletimos os valores negativos da parábola acima do eixo .
Então, subtraindo de 1, deslocamos todo o gráfico para baixo em 1 unidade.
Passo 8
Por fim, vamos determinar o conjunto imagem de , ou seja, todos os valores que pode assumir.
Sabemos que , então:
O valor mínimo de é 0, então:
O valor máximo ocorre quando é mínimo, que é 0:
á
E não há limite inferior, pois pode crescer indefinidamente, fazendo tender a .
Resposta
Os zeros da função são , e . O gráfico de é uma parábola invertida refletida e deslocada. O conjunto imagem de é .