Seja uma função real dada por . Determine os zeros, o gráfico e o conjunto imagem de .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar os zeros, o gráfico e o conjunto imagem da função real . Aqui, vamos trabalhar com funções polinomiais, valor absoluto e análise de gráficos. Precisaremos usar conceitos de resolução de equações e propriedades de funções para encontrar as soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os zeros da função . Os zeros são os valores de que fazem .
Então, temos:
Para resolver isso, vamos isolar o valor absoluto:

Passo 3

Agora, a equação significa que a expressão dentro do valor absoluto pode ser igual a 1 ou a -1. Então, temos duas equações:

Passo 4

Vamos resolver a primeira equação:
Subtraímos 1 de ambos os lados:
Agora, usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda equação:
Adicionamos 1 a ambos os lados:
Essa é uma equação quadrática perfeita:
Portanto, a única solução é:

Passo 6

Então, os zeros da função são:

Passo 7

Para esboçar o gráfico de , vamos analisar a função dentro do valor absoluto, que é uma parábola .
A parábola tem vértice no ponto e intercepta o eixo em .
Aplicando o valor absoluto, refletimos os valores negativos da parábola acima do eixo .
Então, subtraindo de 1, deslocamos todo o gráfico para baixo em 1 unidade.

Passo 8

Por fim, vamos determinar o conjunto imagem de , ou seja, todos os valores que pode assumir.
Sabemos que , então:
O valor mínimo de é 0, então:
O valor máximo ocorre quando é mínimo, que é 0:
á
E não há limite inferior, pois pode crescer indefinidamente, fazendo tender a .

Resposta

Os zeros da função são , e . O gráfico de é uma parábola invertida refletida e deslocada. O conjunto imagem de é .

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Dê o domínio e esboce o gráfico.
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Dê o ponto em que o gráfico de corta o eixo .
Dada a função determine: domínio e imagem,