Dada uma função f: X -> R, suponha que para todo epsilon > 0, existe uma função contínua g: X -> R tal que |f(x) - g(x)| < epsilon para todo x em X. Mostre que f é contínua.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma função e sabe que, para qualquer número pequeno , tem uma função contínua que fica bem pertinho de , ou seja, a diferença é menor que para todo em . Nosso objetivo é provar que também é contínua. Para isso, vamos usar conceitos de análise real, especialmente sobre a continuidade de funções e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Uma função é contínua em um ponto se, para todo , existe um tal que, sempre que , temos . Nosso objetivo é mostrar que essa condição vale para toda em .

Passo 3

Sabemos que para qualquer , existe uma função contínua que está muito próxima de . Como é contínua, para o ponto , existe um tal que se , então .

Passo 4

Agora, vamos relacionar e . Temos que e porque está perto de . Assim, usando a desigualdade triangular:

Resposta

Portanto, mostramos que para todo , existe um tal que implica . Assim, é contínua.

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