Dada uma função
, suponha que para todo
, existe uma função contínua
tal que
para todo
. Mostre que
é contínua.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma função
e sabe que, para qualquer número pequeno
, tem uma função contínua
que fica bem pertinho de
, ou seja, a diferença
é menor que
para todo
em
. Nosso objetivo é provar que
também é contínua. Para isso, vamos usar conceitos de análise real, especialmente sobre a continuidade de funções e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Uma função
é contínua em um ponto
se, para todo
, existe um
tal que, sempre que
, temos
. Nosso objetivo é mostrar que essa condição vale para toda
em
.
Passo 3
Sabemos que para qualquer
, existe uma função contínua
que está muito próxima de
. Como
é contínua, para o ponto
, existe um
tal que se
, então
.
Passo 4
Agora, vamos relacionar
e
. Temos que
e
porque
está perto de
. Assim, usando a desigualdade triangular:
Resposta
Portanto, mostramos que para todo
, existe um
tal que
implica
. Assim,
é contínua.
Exercícios relacionados
Seja
uma função contínua com a seguinte propriedade:
Mostre que existe
tal que
, para todo
.
Dê um exemplo de uma função
que seja bijetora e descontínua em todos os pontos de
.
Seja
dada por
. Mostre que se
entāo
e
.
Seja
uma função contínua no intervalo
. Suponhamos que existem
e
tais que
. Mostre que existe
tal que
para todo
tal que
.