Dada uma função , suponha que para todo , existe uma função contínua tal que para todo . Mostre que é contínua.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma função e sabe que, para qualquer número pequeno , tem uma função contínua que fica bem pertinho de , ou seja, a diferença é menor que para todo em . Nosso objetivo é provar que também é contínua. Para isso, vamos usar conceitos de análise real, especialmente sobre a continuidade de funções e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Uma função é contínua em um ponto se, para todo , existe um tal que, sempre que , temos . Nosso objetivo é mostrar que essa condição vale para toda em .

Passo 3

Sabemos que para qualquer , existe uma função contínua que está muito próxima de . Como é contínua, para o ponto , existe um tal que se , então .

Passo 4

Agora, vamos relacionar e . Temos que e porque está perto de . Assim, usando a desigualdade triangular:

Resposta

Portanto, mostramos que para todo , existe um tal que implica . Assim, é contínua.

Exercícios relacionados

Seja uma função contínua com a seguinte propriedade:
Mostre que existe tal que , para todo .
Dê um exemplo de uma função que seja bijetora e descontínua em todos os pontos de .
Seja dada por . Mostre que se entāo e .
Seja uma função contínua no intervalo . Suponhamos que existem e tais que . Mostre que existe tal que para todo tal que .