Seja
uma função contínua com a seguinte propriedade:
Mostre que existe
tal que
, para todo
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma função contínua
que satisfaz a propriedade
para todo
. Nosso objetivo é mostrar que existe um número
tal que
para todo
. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de funções logarítmicas e exponenciais, além das propriedades de continuidade e das equações funcionais.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que a função
satisfaz
. Vamos investigar o valor de
. Substituindo
e
, temos:
Ou seja,
Isso implica que
, pois
. Como
, temos
.
Passo 3
Agora, vamos considerar a função
. Sabemos que o logaritmo natural (
) é definido para números positivos, o que está de acordo com o domínio de
. Aplicando o logaritmo na propriedade dada:
Então, a função
satisfaz a equação funcional
.
Passo 4
A equação funcional
é conhecida como a equação de Cauchy para adição. Sob a condição de que
seja contínua (o que é o caso, já que
é contínua e a composição com o logaritmo preserva a continuidade), a única solução para essa equação é uma função linear. Ou seja, existe uma constante
tal que:
Passo 5
Lembrando que definimos
, então:
Para encontrar
, aplicamos a exponenciação em ambos os lados:
Seja
, então
(pois a exponenciação de um número real é sempre positiva), e podemos reescrever a função como:
Resposta
Portanto, existe um número
tal que
para todo
.
Exercícios relacionados
Dê um exemplo de uma função
que seja bijetora e descontínua em todos os pontos de
.
Escrever a função comprimento de arco de:
Dada uma função
, suponha que para todo
, existe uma função contínua
tal que
para todo
. Mostre que
é contínua.
Seja
dada por
. Mostre que se
entāo
e
.