Seja uma função contínua com a seguinte propriedade:
Mostre que existe tal que , para todo .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma função contínua que satisfaz a propriedade para todo . Nosso objetivo é mostrar que existe um número tal que para todo . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de funções logarítmicas e exponenciais, além das propriedades de continuidade e das equações funcionais.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que a função satisfaz . Vamos investigar o valor de . Substituindo e , temos:
Ou seja,
Isso implica que , pois . Como , temos .

Passo 3

Agora, vamos considerar a função . Sabemos que o logaritmo natural ( ) é definido para números positivos, o que está de acordo com o domínio de . Aplicando o logaritmo na propriedade dada:
Então, a função satisfaz a equação funcional .

Passo 4

A equação funcional é conhecida como a equação de Cauchy para adição. Sob a condição de que seja contínua (o que é o caso, já que é contínua e a composição com o logaritmo preserva a continuidade), a única solução para essa equação é uma função linear. Ou seja, existe uma constante tal que:

Passo 5

Lembrando que definimos , então:
Para encontrar , aplicamos a exponenciação em ambos os lados:
Seja , então (pois a exponenciação de um número real é sempre positiva), e podemos reescrever a função como:

Resposta

Portanto, existe um número tal que para todo .

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Dê um exemplo de uma função que seja bijetora e descontínua em todos os pontos de .
Escrever a função comprimento de arco de:
Dada uma função , suponha que para todo , existe uma função contínua tal que para todo . Mostre que é contínua.
Seja dada por . Mostre que se entāo e .