Seja uma função contínua no intervalo . Suponhamos que existem e tais que . Mostre que existe tal que para todo tal que .

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função contínua definida num intervalo , e sabemos que em um ponto específico dessa intervalo, o valor da função é menor que um número (ou seja, ). O que precisamos mostrar é que existe um intervalo ao redor de (com raio ) onde todos os valores de também são menores que .
Aqui, vamos usar o conceito de continuidade de funções, que nos ajuda a entender como os valores da função se comportam perto de um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Dizemos que é contínua em se, para todo , existe um tal que, sempre que , então .
Nesse problema, queremos que . Como sabemos que , vamos escolher um baseado na diferença entre e .

Passo 3

Vamos definir a diferença entre e como . Note que, como , é um número positivo.
Pela definição de continuidade, existe um tal que, se , então:
Isso quer dizer que:
Mas como definimos , substituindo na inequação:
Então, para todo dentro de de , .

Resposta

Assim, existe um tal que, sempre que , temos .

Exercícios relacionados

Seja dada por . Mostre que se entāo e .
Dada uma função , suponha que para todo , existe uma função contínua tal que para todo . Mostre que é contínua.
Seja uma função contínua com a seguinte propriedade:
Mostre que é uma função linear, isto é, existe tal que , para todo .
Dica: Defina , mostre que para todo racional e conclua o resultado usando a continuidade de e a densidade dos racionais na reta.
Mostre que um polinômio é uma função uniformemente contínua se, e somente se, tem grau 0 ou 1.