Seja f: I -> R uma função contínua no intervalo I. Suponhamos que existem c em R e x0 em I tais que f(x0) < c. Mostre que existe delta > 0 tal que f(x) < c para todo x in I tal que |x - x0| < delta.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função contínua definida num intervalo , e sabemos que em um ponto específico dessa intervalo, o valor da função é menor que um número (ou seja, ). O que precisamos mostrar é que existe um intervalo ao redor de (com raio ) onde todos os valores de também são menores que .
Aqui, vamos usar o conceito de continuidade de funções, que nos ajuda a entender como os valores da função se comportam perto de um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Dizemos que é contínua em se, para todo , existe um tal que, sempre que , então .
Nesse problema, queremos que . Como sabemos que , vamos escolher um baseado na diferença entre e .

Passo 3

Vamos definir a diferença entre e como . Note que, como , é um número positivo.
Pela definição de continuidade, existe um tal que, se , então:
Isso quer dizer que:
Mas como definimos , substituindo na inequação:
Então, para todo dentro de de , .

Resposta

Assim, existe um tal que, sempre que , temos .

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