Seja
uma função contínua no intervalo
. Suponhamos que existem
e
tais que
. Mostre que existe
tal que
para todo
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função contínua
definida num intervalo
, e sabemos que em um ponto específico
dessa intervalo, o valor da função é menor que um número
(ou seja,
). O que precisamos mostrar é que existe um intervalo ao redor de
(com raio
) onde todos os valores de
também são menores que
.
Aqui, vamos usar o conceito de continuidade de funções, que nos ajuda a entender como os valores da função se comportam perto de um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Dizemos que
é contínua em
se, para todo
, existe um
tal que, sempre que
, então
.
Nesse problema, queremos que
. Como sabemos que
, vamos escolher um
baseado na diferença entre
e
.
Passo 3
Vamos definir a diferença entre
e
como
. Note que, como
,
é um número positivo.
Pela definição de continuidade, existe um
tal que, se
, então:
Isso quer dizer que:
Mas como definimos
, substituindo na inequação:
Então, para todo
dentro de
de
,
.
Resposta
Assim, existe um
tal que, sempre que
, temos
.
Exercícios relacionados
Seja
dada por
. Mostre que se
entāo
e
.
Dada uma função
, suponha que para todo
, existe uma função contínua
tal que
para todo
. Mostre que
é contínua.
Seja
uma função contínua com a seguinte propriedade:
Mostre que
é uma função linear, isto é, existe
tal que
, para todo
.
Dica: Defina , mostre que
para todo
racional e conclua o resultado usando a continuidade de
e a densidade dos racionais na reta.
Dica: Defina
Mostre que um polinômio
é uma função uniformemente contínua se, e somente se,
tem grau 0 ou 1.