Seja dada por . Mostre que se entāo e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e queremos mostrar que, se o módulo de for menor que 1 ( ), então:
  • Quando vai para , também vai para .
  • Quando vai para , vai para .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e comportamento de funções, especialmente levando em conta como o termo se comporta quando cresce sem limite.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Podemos fatorar para facilitar:
Aqui, a gente separa do que está multiplicando ele. Agora, vamos entender cada parte:
  • é uma função que aumenta ou diminui sem limites conforme vai para ou .
  • é uma função que oscila entre -1 e 1, ou seja, .

Passo 3

Como , o termo vai variar entre e . Então, o que está dentro dos parênteses fica:
Sabendo que , temos:
Como , os limites e são sempre positivos. Isso significa que está sempre entre dois números positivos.

Passo 4

Agora, vamos pensar no produto :
  • Quando vai para , é positivo e muito grande.
  • O termo está sempre positivo e limitado entre e .
Então, multiplicando um número positivo muito grande por outro positivo, o resultado vai para .

Passo 5

De forma semelhante, quando vai para :
  • é negativo e com módulo muito grande.
  • O termo continua positivo e limitado entre e .
Multiplicando um número negativo muito grande por outro positivo, o resultado vai para .

Resposta

Portanto, quando :

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Dada uma função , suponha que para todo , existe uma função contínua tal que para todo . Mostre que é contínua.
Seja uma função contínua com a seguinte propriedade:
Mostre que existe tal que , para todo .
Seja uma função contínua no intervalo . Suponhamos que existem e tais que . Mostre que existe tal que para todo tal que .
Seja uma função contínua com a seguinte propriedade:
Mostre que é uma função linear, isto é, existe tal que , para todo .
Dica: Defina , mostre que para todo racional e conclua o resultado usando a continuidade de e a densidade dos racionais na reta.