Seja
dada por
. Mostre que se
entāo
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e queremos mostrar que, se o módulo de
for menor que 1 (
), então:
- Quando
vai para , também vai para . - Quando
vai para , vai para .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e comportamento de funções, especialmente levando em conta como o termo
se comporta quando
cresce sem limite.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Podemos fatorar
para facilitar:
Aqui, a gente separa
do que está multiplicando ele. Agora, vamos entender cada parte:
-
é uma função que aumenta ou diminui sem limites conforme vai para ou . -
é uma função que oscila entre -1 e 1, ou seja, .
Passo 3
Como
, o termo
vai variar entre
e
. Então, o que está dentro dos parênteses fica:
Sabendo que
, temos:
Como
, os limites
e
são sempre positivos. Isso significa que
está sempre entre dois números positivos.
Passo 4
Agora, vamos pensar no produto
:
- Quando
vai para , é positivo e muito grande. - O termo
está sempre positivo e limitado entre e .
Então, multiplicando um número positivo muito grande por outro positivo, o resultado vai para
.
Passo 5
De forma semelhante, quando
vai para
:
-
é negativo e com módulo muito grande. - O termo
continua positivo e limitado entre e .
Multiplicando um número negativo muito grande por outro positivo, o resultado vai para
.
Resposta
Portanto, quando
:
Exercícios relacionados
Dada uma função
, suponha que para todo
, existe uma função contínua
tal que
para todo
. Mostre que
é contínua.
Seja
uma função contínua com a seguinte propriedade:
Mostre que existe
tal que
, para todo
.
Seja
uma função contínua no intervalo
. Suponhamos que existem
e
tais que
. Mostre que existe
tal que
para todo
tal que
.
Seja
uma função contínua com a seguinte propriedade:
Mostre que
é uma função linear, isto é, existe
tal que
, para todo
.
Dica: Defina , mostre que
para todo
racional e conclua o resultado usando a continuidade de
e a densidade dos racionais na reta.
Dica: Defina