Dê um exemplo de uma função
que seja bijetora e descontínua em todos os pontos de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma função
que seja bijetora (ou seja, uma função que é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora) e que seja descontínua em todos os pontos dos números reais. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções injetoras, sobrejetoras e tipos de continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser bijetora. Injetora quer dizer que cada elemento do domínio é mapeado para um único elemento no contradomínio, sem repetições. Sobrejetora significa que todo elemento do contradomínio é atingido por algum elemento do domínio. Juntando esses dois, uma função bijetora estabelece uma correspondência perfeita entre os conjuntos.
Passo 3
Agora, precisamos garantir que a função seja descontínua em todos os pontos. Uma função é contínua num ponto se, ao se aproximar desse ponto de qualquer direção, o valor da função se aproxima do valor da função nesse ponto. Se uma função não for contínua em nenhum ponto, ela muda de valor de forma abrupta em todos os lugares.
Passo 4
Vamos construir uma função que atenda a esses requisitos. Considere a seguinte definição:
Passo 5
Vamos ver por que essa função é bijetora.
Injetora: Suponha que
.
- Se ambos
e são racionais, então , o que implica . - Se ambos são irracionais, então
. - Se um é racional e o outro irracional,
(racional) e (irracional), o que nunca ocorre.
Portanto, a função é injetora.
Sobrejetora: Para todo
:
- Se
é irracional, basta escolher (irracional) e . - Se
é racional, escolher (racional) e .
Assim, todo
tem um correspondente
, tornando a função sobrejetora.
Passo 6
Agora, vamos verificar a continuidade. A função
adiciona 1 apenas nos pontos racionais. Sabemos que os números racionais são densos em
, ou seja, entre dois números reais sempre existe um racional e um irracional. Isso faz com que, em qualquer intervalo, a função salte de
para
e vice-versa, não permitindo que ela seja contínua em nenhum ponto.
Resposta
Um exemplo de função bijetora e descontínua em todos os pontos de
é:
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Escrever a função comprimento de arco de:
Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas:
Seja
uma função contínua com a seguinte propriedade:
Mostre que existe
tal que
, para todo
.
Dada uma função
, suponha que para todo
, existe uma função contínua
tal que
para todo
. Mostre que
é contínua.