Dada a função f(x)=x^2-x+1, determine f^prime(2). Use as duas formas da definição.
Usando f^prime(xo)=lim x xo f(x)-f(xo)x-xo e Usando f^prime(xo)=lim De

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer encontrar a derivada da função no ponto . Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, onde estudamos como calcular derivadas usando definições. Vamos precisar aplicar duas definições diferentes da derivada para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a definição limite quando f^prime(x0) = limx to x0 f(x) - f(x0)x - x0 se aproxima de f^prime(2) = limx to 2 f(x) - f(2)x - 2 :
No nosso caso, . Então, substituindo na fórmula:

Passo 3

Vamos calcular f(2) = (2)^2 - 2 + 1 = 4 - 2 + 1 = 3 :
f^prime(2) = limx to 2 (x^2 - x + 1) - 3x - 2 = limx to 2 x^2 - x - 2x - 2
Agora, substituindo x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) e f^prime(2) = limx to 2 (x - 2)(x + 1)x - 2 = limx to 2 (x + 1) = 3 na fórmula:
Vamos simplificar o numerador fatorando:
Então:

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda definição da derivada, que utiliza f^prime(x0) = limDe tendendo a zero:
f^prime(2) = limDe
Substituindo :

Passo 5

Vamos calcular f(2 + De:
f(2 + De
Subtraindo f^prime(2) = limDe:
Agora, substituindo na fórmula da derivada:

Resposta

Portanto, a derivada de no ponto é .

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