Resolva as integrais usando métodos adequados: integral d xraizx+1+raiz(x+1)^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcularmos a integral de em relação a . Vamos utilizar técnicas de substituição e simplificação de expressões com raízes para chegar na solução. Precisamos entender como manipular expressões com radicais e aplicar a substituição adequada para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração. Observe que integral dxraizx+1 + (x+1)^3/2 pode ser reescrito como . Assim, a integral fica:

Passo 3

Vamos facilitar a expressão fazendo uma substituição. Seja 2t dtdx = 1 implies dx = 2t , dt . Isso significa que . Agora, derivamos ambos os lados em relação a para encontrar :

Passo 4

Substituímos integral 2t , dtt + t^3 por e por na integral original:

Passo 5

Agora, fatoramos integral 2t , dtt(1 + t^2) = integral 2 , dt1 + t^2 no denominador:

Passo 6

A integral 2 arctan(t) + C é uma forma padrão que sabemos como resolver. A antiderivada de é , então multiplicando por 2 temos:

Passo 7

Lembrando que fizemos a substituição 2 arctan(raizx + 1) + C , substituímos de volta para :

Resposta

A integral é igual a .

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