Resolva as integrais usando métodos adequados: integral 4 exp (3 x) d x(exp (2 x)+2)(exp (2 x)-2 exp (x)+1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para resolver a integral . Para isso, vamos usar técnicas de integração que envolvem substituição e frações parciais. Vamos precisar entender um pouco sobre funções exponenciais e como quebrar frações complexas em partes mais simples para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão no denominador. Observando (e^2x + 2)(e^x - 1)^2 , percebemos que pode ser reescrita como , que é um quadrado perfeito: . Então, o denominador fica:

Passo 3

Agora, para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Vamos definir integral 4 e^3x cdot duu(u^2 + 2)(u - 1)^2 . Assim, a derivada de e^3xu = u^3u = u^2 em relação a integral 4 u^2 du(u^2 + 2)(u - 1)^2 é , ou seja, .
Substituindo na integral:
Simplificando , já que :
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos usar o método das frações parciais para decompor a fração em partes mais simples. Queremos expressar:
4 u^2(u^2 + 2)(u - 1)^2 = Au - 1 + B(u - 1)^2 + C u + Du^2 + 2
Multiplicando ambos os lados por 4 u^2 = A(u^2 + 2)(u - 1) + B(u^2 + 2) + (C u + D)(u - 1)^2 , obtemos:

Passo 5

Vamos expandir e comparar os coeficientes para encontrar os valores de 4(1)^2 = A(1 + 2)(0) + B(1 + 2) + (C(1) + D)(0) , 4 = 3B implies B = 43 , 4u^2 = A(u^3 - u^2 + 2u - 2) + B(u^2 + 2) + (C u + D)(u^2 - 2u + 1) e 4u^2 = A u^3 - A u^2 + 2A u - 2A + B u^2 + 2B + C u^3 - 2C u^2 + C u + D u^2 - 2D u + D . Primeiro, escolhemos valores estratégicos de ( A + C )u^3 + ( -A + B - 2C + D )u^2 + ( 2A + C - 2D )u + ( -2A + 2B + D ) para simplificar:
  1. Para A + C = 0 -A + B - 2C + D = 4 2A + C - 2D = 0 -2A + 2B + D = 0 :
-A + B - 2(-A) + D = 4 implies -A + B + 2A + D = 4 implies A + B + D = 4
2A + (-A) - 2D = 0 implies A - 2D = 0 implies A = 2D
  1. Para facilitar, vamos expandir toda a expressão:
-2(2D) + 2(43) + D = 0 implies -4D + 83 + D = 0 implies -3D + 83 = 0 implies D = 89
Agrupando os termos semelhantes:
Igualando aos termos do lado esquerdo ( ):
  1. Resolvendo o sistema de equações:
  • Da primeira equação:
  • Substituindo na segunda equação:
  • Substituindo na terceira equação:
  • Substituindo e na quarta equação:
  • Então,
  • E

Passo 6

Agora que encontramos os valores, podemos escrever a decomposição:
4 u^2(u^2 + 2)(u - 1)^2 = 169u - 1 + 43(u - 1)^2 + -169 u + 89u^2 + 2
Simplificando:
169 cdot 1u - 1 + 43 cdot 1(u - 1)^2 + -16 u + 89(u^2 + 2)

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 169 cdot 1u - 1 du + integral 43 cdot 1(u - 1)^2 du + integral -16 u + 89(u^2 + 2) du
Integrando:
  1. 89 cdot 1raiz2 tan^-1(uraiz2) = 89raiz2 tan^-1(uraiz2)
  2. dividimos em duas partes:
    • . Sabemos que , aqui :

Passo 8

Juntando todas as integrais, temos:
169 ln|u - 1| - 43(u - 1) - 89 ln|u^2 + 2| + 89raiz2 tan^-1(uraiz2) + C
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Lembrando que fizemos a substituição 169 ln|e^x - 1| - 43(e^x - 1) - 89 ln|e^2x + 2| + 89raiz2 tan^-1(e^xraiz2) + C , substituímos de volta:

Resposta

A integral resolve-se por frações parciais e substituições, resultando em:
169 ln|e^x - 1| - 43(e^x - 1) - 89 ln|e^2x + 2| + 89raiz2 tan^-1(e^xraiz2) + C
Onde é a constante de integração.

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