Resolva as integrais usando métodos adequados:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para resolver a integral . Para isso, vamos usar técnicas de integração que envolvem substituição e frações parciais. Vamos precisar entender um pouco sobre funções exponenciais e como quebrar frações complexas em partes mais simples para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão no denominador. Observando , percebemos que pode ser reescrita como , que é um quadrado perfeito: . Então, o denominador fica:

Passo 3

Agora, para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Vamos definir . Assim, a derivada de em relação a é , ou seja, .
Substituindo na integral:
Simplificando , já que :
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos usar o método das frações parciais para decompor a fração em partes mais simples. Queremos expressar:
Multiplicando ambos os lados por , obtemos:

Passo 5

Vamos expandir e comparar os coeficientes para encontrar os valores de , , e . Primeiro, escolhemos valores estratégicos de para simplificar:
  1. Para :
  1. Para facilitar, vamos expandir toda a expressão:
Agrupando os termos semelhantes:
Igualando aos termos do lado esquerdo ( ):
  1. Resolvendo o sistema de equações:
  • Da primeira equação:
  • Substituindo na segunda equação:
  • Substituindo na terceira equação:
  • Substituindo e na quarta equação:
  • Então,
  • E

Passo 6

Agora que encontramos os valores, podemos escrever a decomposição:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Integrando:
  1. dividimos em duas partes:
    • . Sabemos que , aqui :

Passo 8

Juntando todas as integrais, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Lembrando que fizemos a substituição , substituímos de volta:

Resposta

A integral resolve-se por frações parciais e substituições, resultando em:
Onde é a constante de integração.

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