Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para resolver a integral . Para isso, vamos usar técnicas de integração que envolvem substituição e frações parciais. Vamos precisar entender um pouco sobre funções exponenciais e como quebrar frações complexas em partes mais simples para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão no denominador. Observando , percebemos que pode ser reescrita como , que é um quadrado perfeito: . Então, o denominador fica:
Passo 3
Agora, para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Vamos definir . Assim, a derivada de em relação a é , ou seja, .
Substituindo na integral:
Simplificando , já que :
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos usar o método das frações parciais para decompor a fração em partes mais simples. Queremos expressar:
Multiplicando ambos os lados por , obtemos:
Passo 5
Vamos expandir e comparar os coeficientes para encontrar os valores de , , e . Primeiro, escolhemos valores estratégicos de para simplificar:
Para :
Para facilitar, vamos expandir toda a expressão:
Agrupando os termos semelhantes:
Igualando aos termos do lado esquerdo ():
Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Substituindo na terceira equação:
Substituindo e na quarta equação:
Então,
E
Passo 6
Agora que encontramos os valores, podemos escrever a decomposição:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Integrando:
dividimos em duas partes:
. Sabemos que , aqui :
Passo 8
Juntando todas as integrais, temos:
Onde é a constante de integração.
Passo 9
Lembrando que fizemos a substituição , substituímos de volta:
Resposta
A integral resolve-se por frações parciais e substituições, resultando em: