Dada a função .
Encontre as assíntotas verticais de , e os dois limites laterais onde ocorrer assíntota.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a função . O que a gente precisa fazer é encontrar as assíntotas verticais dessa função e calcular os limites laterais onde essas assíntotas ocorrem. Para isso, vamos usar conhecimentos de fatoração de polinômios e entender como identificar onde a função pode “explodir”, ou seja, onde as assíntotas verticais aparecem.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o numerador e o denominador da função para facilitar a identificação das assíntotas.
O numerador é . Isso pode ser reescrito como , já que .
O denominador é . Vamos procurar dois números que multiplicados dão -6 e somados dão 1. Esses números são 3 e -2. Então, o denominador fatorado fica .
Agora, nossa função fica:

Passo 3

Observando a função fatorada, percebemos que o termo aparece tanto no numerador quanto no denominador. Isso significa que podemos simplificar a função, cancelando esse termo:
Porém, é importante notar que o cancelamento é válido apenas quando , já que em teríamos uma divisão por zero, o que indica que há um buraco na função nesse ponto, e não uma assíntota vertical.

Passo 4

Agora, vamos identificar as assíntotas verticais. Essas ocorrem nos valores de que fazem o denominador ser zero, mas que não são cancelados pelo numerador.
Analisando o denominador original :
  1. (mas esse já foi cancelado, então é um buraco, não uma assíntota)
Portanto, a única assíntota vertical está em .
Agora, vamos calcular os limites laterais quando se aproxima de -3:
Isso significa que, à medida que se aproxima de -3 pela esquerda, a função tende ao infinito positivo, e pela direita, ao infinito negativo.

Resposta

A função possui uma assíntota vertical em . Os limites laterais nessa assíntota são:

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes equações de Bernoulli:
(b)
Sejam e para todo . Determine:
e) ;
Determine o valor de para que a função
seja contínua em .
Dada a função .
Encontre as assíntotas horizontais de .