Resolva as seguintes equações de Bernoulli:
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação de Bernoulli que você enviou:
Essa é uma equação diferencial não linear e vamos usar as técnicas de equações de Bernoulli para resolvê-la. Vamos precisar entender como transformar essa equação para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar essa equação na forma padrão da equação de Bernoulli, que é:
No seu caso, temos:
Aqui, identificamos que , e .

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para transformar essa equação não linear em uma equação linear. A substituição típica para uma equação de Bernoulli é:
Como , temos:

Passo 4

Vamos derivar em relação a :
Isso nos ajuda a relacionar com .

Passo 5

Substituindo da equação original na expressão de :
Vamos simplificar isso:
Como , temos:

Passo 6

Agora, a equação ficou linear em termos de :
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem que podemos resolver usando o fator integrante.

Passo 7

Vamos encontrar o fator integrante :
Multiplicando toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Resolvendo para :
Lembrando que , então:

Passo 10

Finalmente, resolvendo para :

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Sejam e para todo . Determine:
e) ;
Encontre o vetor tangente, normal, e a curvatura das curvas
©
Dada a função .
Encontre as assíntotas verticais de , e os dois limites laterais onde ocorrer assíntota.
Determine o valor de para que a função
seja contínua em .