Resolva as seguintes equações de Bernoulli:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação de Bernoulli que você enviou:
Essa é uma equação diferencial não linear e vamos usar as técnicas de equações de Bernoulli para resolvê-la. Vamos precisar entender como transformar essa equação para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar essa equação na forma padrão da equação de Bernoulli, que é:
No seu caso, temos:
Aqui, identificamos que
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para transformar essa equação não linear em uma equação linear. A substituição típica para uma equação de Bernoulli é:
Como
, temos:
Passo 4
Vamos derivar
em relação a
:
Isso nos ajuda a relacionar
com
.
Passo 5
Substituindo
da equação original na expressão de
:
Vamos simplificar isso:
Como
, temos:
Passo 6
Agora, a equação ficou linear em termos de
:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem que podemos resolver usando o fator integrante.
Passo 7
Vamos encontrar o fator integrante
:
Multiplicando toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 8
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Resolvendo para
:
Lembrando que
, então:
Passo 10
Finalmente, resolvendo para
:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Sejam
e
para todo
. Determine:
e) ;
e)
Encontre o vetor tangente, normal, e a curvatura das curvas
©
©
Dada a função
.
Encontre as assíntotas verticais de , e os dois limites laterais onde ocorrer assíntota.
Encontre as assíntotas verticais de
Determine o valor de
para que a função
seja contínua em
.