Dada à função f(x) = -3 x / (x + 4). Determine as assíntotas vertical e horizontal e esboce seu gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisamos descobrir as assíntotas vertical e horizontal dessa função. Isso faz parte do estudo de funções racionais, onde a gente analisa como a função se comporta conforme vai para certos valores. Vamos precisar entender o que são assíntotas e como encontrá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos procurar a assíntota vertical. Assíntotas verticais acontecem onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador é zero. Então, vamos igualar o denominador a zero e resolver para :
Isso significa que em a função não está definida e temos uma assíntota vertical.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a assíntota horizontal. Para funções racionais, quando o grau do numerador e do denominador são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. No nosso caso, o numerador é e o denominador é . Ambos têm grau 1, então a assíntota horizontal será:
Portanto, a assíntota horizontal é a reta .

Passo 4

Com essas informações, podemos visualizar o gráfico da função. A assíntota vertical em é uma linha que a função se aproxima mas nunca toca, e a assíntota horizontal em indica que, conforme vai para ou , o valor de se aproxima de -3.

Resposta

A função possui uma assíntota vertical em e uma assíntota horizontal em .

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