Dada a função , pede-se:
a) As equações das curvas de nível e .
b) A equação e o esboço da curva de nível que contém o ponto .
c) Um esboço do gráfico da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que trata de curvas de nível da função . Vamos precisar entender o que são curvas de nível e como elas são relacionadas à função dada. Vou explicar cada parte passo a passo para deixar tudo claro.
Passo 2
a) Encontrar as equações das curvas de nível para , e .
Primeiro, vamos lembrar que uma curva de nível é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante, neste caso, . Então, para cada valor de , temos uma equação:
Resolvendo para :
Agora, substituímos os valores de :
Para :
Para :
Para :
Portanto, as equações das curvas de nível são círculos com rações , e , respectivamente.
Passo 3
b) Encontrar a equação e o esboço da curva de nível que contém o ponto .
Primeiro, precisamos determinar o valor de que corresponde ao ponto na função :
Já vimos na parte a) que para , a equação da curva de nível é:
Assim, a curva de nível que contém o ponto é um círculo com raio 2, centrado na origem.
Passo 4
c) Fazer um esboço do gráfico da função .
A função representa uma superfície que se aproxima de infinito conforme e se aproximam da origem. As curvas de nível são círculos concêntricos que se tornam menores conforme aumenta.
No esboço, teremos:
Curvas de nível circulares com raios decrescentes conforme aumenta.
A superfície tem um pico na origem e decresce uniformemente em todas as direções à medida que nos afastamos.
Resposta
As equações das curvas de nível são:
a)
b)
A curva de nível que contém o ponto é .
c)
O gráfico da função é uma superfície que forma um pico na origem e decresce uniformemente em todas as direções, com curvas de nível circulares concêntricas.