Dada a função , pede-se:
a) As equações das curvas de nível e .
b) A equação e o esboço da curva de nível que contém o ponto .
c) Um esboço do gráfico da função.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que trata de curvas de nível da função . Vamos precisar entender o que são curvas de nível e como elas são relacionadas à função dada. Vou explicar cada parte passo a passo para deixar tudo claro.

Passo 2

a) Encontrar as equações das curvas de nível para , e .
Primeiro, vamos lembrar que uma curva de nível é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante, neste caso, . Então, para cada valor de , temos uma equação:
Resolvendo para :
Agora, substituímos os valores de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Portanto, as equações das curvas de nível são círculos com rações , e , respectivamente.

Passo 3

b) Encontrar a equação e o esboço da curva de nível que contém o ponto .
Primeiro, precisamos determinar o valor de que corresponde ao ponto na função :
Já vimos na parte a) que para , a equação da curva de nível é:
Assim, a curva de nível que contém o ponto é um círculo com raio 2, centrado na origem.

Passo 4

c) Fazer um esboço do gráfico da função .
A função representa uma superfície que se aproxima de infinito conforme e se aproximam da origem. As curvas de nível são círculos concêntricos que se tornam menores conforme aumenta.
No esboço, teremos:
  • Curvas de nível circulares com raios decrescentes conforme aumenta.
  • A superfície tem um pico na origem e decresce uniformemente em todas as direções à medida que nos afastamos.

Resposta

As equações das curvas de nível são:
a)
b)
A curva de nível que contém o ponto é .
c)
O gráfico da função é uma superfície que forma um pico na origem e decresce uniformemente em todas as direções, com curvas de nível circulares concêntricas.

Exercícios relacionados

.
a) Represente o domínio de f no plano e determine a imagem de f .
b) Identifique as interseções do gráfico de com os planos e .
c) Faça um esboço do gráfico de .
Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergentes, condicionalmente convergente ou divergente. Justifique sua resposta.
Considere as funções dadas por e . Determine: A soma ;
Considere as funções dadas por e . Determine: O produto vetorial .