.
a) Represente o domínio de f no plano e determine a imagem de f .
b) Identifique as interseções do gráfico de com os planos e .
c) Faça um esboço do gráfico de .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos:
a) Representar o domínio dessa função no plano e achar a imagem de .
b) Encontrar onde o gráfico de corta os planos , , , e .
c) Fazer um esboço de como o gráfico de fica.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de domínio e imagem de funções, entender como gráficas interagem com planos no espaço 3D e aplicar um pouco de geometria.

Passo 2

Parte a)
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função .
A raiz quadrada só é válida se o que está dentro dela for maior ou igual a zero. Então:
Isso significa:
Esse é o domínio da função, ou seja, todos os pares que satisfazem essa condição. Graficamente, no plano , isso representa a área que está abaixo ou na parábola .
A imagem da função são todos os valores que pode assumir. Como varia de 0 até 10, ao tirar a raiz quadrada, varia de 0 até . Então, a imagem é:

Passo 3

Parte b)
Vamos encontrar as interseções do gráfico de com os diferentes planos.
  1. Interseção com o plano :
    Elevando ambos os lados ao quadrado:
    Essa é uma parábola no plano .
  2. Interseção com o plano :
    Elevando ao quadrado:
    Outra parábola, um pouco menor que a anterior.
  3. Interseção com o plano :
    Elevando ao quadrado:
    Mais uma parábola ainda menor.
  4. Interseção com o plano :
    Substituindo na função:
    Isso é uma função de no plano , válida para .
  5. Interseção com o plano :
    Substituindo na função:
    Isso é uma função de no plano , válida para , ou seja, .

Passo 4

Parte c)
Vamos esboçar o gráfico de .
  • Formato Geral: A função representa um paraboloide que se abre para baixo, pois a variável diminui conforme aumenta.
  • Base do Paraboloide: No plano , o domínio forma a base, que é a parábola .
  • Altura: A altura varia de 0 até . Conforme nos movemos para dentro da parábola no plano , aumenta até o ponto mais alto.
  • Interseções com Planos: As interseções com , , e mostram cortes horizontais na superfície do paraboloide. As interseções com e mostram cortes verticais.
O esboço incluiria a base no plano , linhas curvas representando as interseções com os planos , e cortes nos planos e para dar uma ideia de como a superfície se expande para cima.

Resposta

a) O domínio de é a região no plano definida por e a imagem de é o intervalo .
b) As interseções do gráfico de com os planos são:
  • Com :
  • Com :
  • Com :
  • Com :
  • Com :
c) O gráfico de é um paraboloide que se abre para baixo, limitado pela parábola no plano , com alturas decrescendo conforme aumenta.

Exercícios relacionados

Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergentes, condicionalmente convergente ou divergente. Justifique sua resposta.
Determine a expansão em série de potências para em torno de . Determine o raio e o intervalo de convergência da expansão encontrada. Justifique cada passo de sua resolução.
Dada a função , pede-se:
a) As equações das curvas de nível e .
b) A equação e o esboço da curva de nível que contém o ponto .
c) Um esboço do gráfico da função.
Considere as funções dadas por e . Determine: A soma ;