.
a) Represente o domínio de f no plano
e determine a imagem de f .
b) Identifique as interseções do gráfico de
com os planos
e
.
c) Faça um esboço do gráfico de
.
a) Represente o domínio de f no plano
b) Identifique as interseções do gráfico de
c) Faça um esboço do gráfico de
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos:
a) Representar o domínio dessa função no plano
e achar a imagem de
.
b) Encontrar onde o gráfico de
corta os planos
,
,
,
e
.
c) Fazer um esboço de como o gráfico de
fica.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de domínio e imagem de funções, entender como gráficas interagem com planos no espaço 3D e aplicar um pouco de geometria.
Passo 2
Parte a)
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função
.
A raiz quadrada só é válida se o que está dentro dela for maior ou igual a zero. Então:
Isso significa:
Esse é o domínio da função, ou seja, todos os pares
que satisfazem essa condição. Graficamente, no plano
, isso representa a área que está abaixo ou na parábola
.
A imagem da função são todos os valores que
pode assumir. Como
varia de 0 até 10, ao tirar a raiz quadrada,
varia de 0 até
. Então, a imagem é:
Passo 3
Parte b)
Vamos encontrar as interseções do gráfico de
com os diferentes planos.
-
Interseção com o plano
: Elevando ambos os lados ao quadrado:Essa é uma parábola no plano. -
Interseção com o plano
: Elevando ao quadrado:Outra parábola, um pouco menor que a anterior. -
Interseção com o plano
: Elevando ao quadrado:Mais uma parábola ainda menor. -
Interseção com o plano
: Substituindona função: Isso é uma função deno plano , válida para . -
Interseção com o plano
: Substituindona função: Isso é uma função deno plano , válida para , ou seja, .
Passo 4
Parte c)
Vamos esboçar o gráfico de
.
-
Formato Geral: A função representa um paraboloide que se abre para baixo, pois a variável
diminui conforme aumenta. -
Base do Paraboloide: No plano
, o domínio forma a base, que é a parábola . -
Altura: A altura
varia de 0 até . Conforme nos movemos para dentro da parábola no plano , aumenta até o ponto mais alto. -
Interseções com Planos: As interseções com
, , e mostram cortes horizontais na superfície do paraboloide. As interseções com e mostram cortes verticais.
O esboço incluiria a base no plano
, linhas curvas representando as interseções com os planos
, e cortes nos planos
e
para dar uma ideia de como a superfície se expande para cima.
Resposta
a) O domínio de
é a região no plano
definida por
e a imagem de
é o intervalo
.
b) As interseções do gráfico de
com os planos são:
- Com
: - Com
: - Com
: - Com
: - Com
:
c) O gráfico de
é um paraboloide que se abre para baixo, limitado pela parábola
no plano
, com alturas decrescendo conforme
aumenta.
Exercícios relacionados
Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergentes, condicionalmente convergente ou divergente. Justifique sua resposta.
Determine a expansão em série de potências para
em torno de
. Determine o raio e o intervalo de convergência da expansão encontrada. Justifique cada passo de sua resolução.
Dada a função
, pede-se:
a) As equações das curvas de nível e
.
b) A equação e o esboço da curva de nível que contém o ponto .
c) Um esboço do gráfico da função.
a) As equações das curvas de nível
b) A equação e o esboço da curva de nível que contém o ponto
c) Um esboço do gráfico da função.
Considere as funções
dadas por
e
. Determine: A soma
;