Dada a função f(x, y) = (1 - cos(raiz(x y))) / x, é possível definir f(0, 0) para que seja contínua nesse ponto?

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pergunta se é possível definir para que a função seja contínua no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade de funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa a função ser contínua em . Isso quer dizer que o limite de quando se aproxima de deve existir e ser igual a .

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando . A função é . Para facilitar, vamos fazer uma substituição: deixe , então .

Passo 4

Agora, reescrevemos a função em termos de :
Sabemos que para próximo de 0, então:

Passo 5

Substituindo de volta, temos:
Portanto, o limite de quando é:

Passo 6

Para que seja contínua em , o limite deve ser independente do caminho seguido para . No entanto, observamos que o limite depende de , o que significa que o limite pode variar dependendo de como se aproxima de .

Passo 7

Como o limite depende de e pode assumir diferentes valores, não existe um único valor que possamos definir para que torne a função contínua nesse ponto.

Resposta

Não é possível definir de forma que a função seja contínua em .

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