Dada a função
, é possível definir
para que seja contínua nesse ponto?
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pergunta se é possível definir
para que a função
seja contínua no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade de funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa a função ser contínua em
. Isso quer dizer que o limite de
quando
se aproxima de
deve existir e ser igual a
.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
. A função é
. Para facilitar, vamos fazer uma substituição: deixe
, então
.
Passo 4
Agora, reescrevemos a função em termos de
:
Sabemos que
para
próximo de 0, então:
Passo 5
Substituindo de volta, temos:
Portanto, o limite de
quando
é:
Passo 6
Para que
seja contínua em
, o limite deve ser independente do caminho seguido para
. No entanto, observamos que o limite depende de
, o que significa que o limite pode variar dependendo de como
se aproxima de
.
Passo 7
Como o limite depende de
e pode assumir diferentes valores, não existe um único valor que possamos definir para
que torne a função contínua nesse ponto.
Resposta
Não é possível definir
de forma que a função
seja contínua em
.